lim

[mercedesbenz]

Let $(u_n)$be a sequence of real number and
$u'_n=sup\{u_k : k\geq n\}$
$u"_n=inf\{u_k : k\geq n\}$
define $\limsup u_n=\lim u'_n$
$\liminf u_n=\lim u"_n$
Please help me show that if $\limsup_{n\rightarrow \infty}u_n=\liminf_{n\rightarrow \infty}u_n$ then $(u_n)$ converges.

[M@gpie]

เท่าที่จำได้ลางๆนะครับ อาจมีรายละเอียดที่ต้องแต่งเติม

For each $n \in \mathbb{N}$
\[ \inf_{k\geq n}u_{k} \leq u_n \leq \sup_{k \geq n} u_k \]
Since ${\displaystyle \liminf_{n\rightarrow \infty} u_n = \lim_{n\rightarrow \infty} \inf_{k\geq n}u_{k} = \lim_{n\rightarrow \infty} \sup_{k \geq n} u_k = \limsup_{n\rightarrow \infty} u_n } $, then ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} u_n }$ exists by Squeeze theorem.