พิสูจน์ สมการไฮเพอร์โบลา

[เด็กแพทย์ แต่ชอบเลข]

f(x)=(ax+b)/(cx+d)

ทำไมเป็นกราฟ hyper พิสูจน์ด้วย


thx

[gon]

สมการ $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ เมื่อจัดรูปแล้วจะได้ $(cx+d)(cy-a)=bc-ad$

ซึ่งอยู่ในทั่วไปของไฮเพอร์โบลามุมฉาก (ซึ่งเกิดจากการหมุนไฮเพอร์โบลาปกติ แล้วเลื่อนแกนตามขนานอีกที) และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(h, k) = (-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})$ ครับ.

แต่ไม่ได้แปลว่าจะต้องเป็นไฮเพอร์โบลาเสมอนะครับ ต้องดูค่าของ a, b, c, d ด้วย

[เด็กแพทย์ แต่ชอบเลข]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

สมการ $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ เมื่อจัดรูปแล้วจะได้ $(cx+d)(cy-a)=bc-ad$

ซึ่งอยู่ในทั่วไปของไฮเพอร์โบลามุมฉาก (ซึ่งเกิดจากการหมุนไฮเพอร์โบลาปกติ แล้วเลื่อนแกนตามขนานอีกที) และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(h, k) = (-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})$ ครับ.

แต่ไม่ได้แปลว่าจะต้องเป็นไฮเพอร์โบลาเสมอนะครับ ต้องดูค่าของ a, b, c, d ด้วย

เรียนท่าน gon
ช่วยพิสูจน์ให้ดูด้วยครับ เช่น y=(3x+2)/(5x-9)
ว่าเป็นhyper ได้อย่างไร
ถ้าวาดกราฟได้จะดีอย่างยิ่ง

thank you very much เด้อ...!!!

[gon]

ครับ ก็พิสูจน์ให้ดูแล้วว่าโดยทั่วไปแล้วเป็นสมการไฮเพอร์โบลา โดยบอกว่าเราสามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น $(cx + d)(cy - a) = bc - ad$ หรือ จะเขียนแบบชัดๆก็คือ $(x + \frac{d}{c})(y - \frac{a}{c}) = \frac{bc - ad}{c^2}$
(ตรงนี้อยากให้ลองจัดดูด้วยมือของตัวเองครับ ว่าจัดได้หรือไม่)

ซึ่งจากสมการนี้ถ้าเราเลื่อนแกนตามขนานไปที่จุด $(-\frac{d}{c} , \frac{a}{c})$ ก็จะได้สมการใหม่้เป็น $x'y' = \frac{bc - ad}{c^2}$ บนระนาบ x'y' ซึ่งสมการนี้ก็คือรูป xy = k ที่เรารู้กันดีในระดับมัธยมปลาย (แต่ไม่เคยพิสูจน์สักที) ว่าเป็นสมการไฮเพอร์โบลามุมฉากที่เกิดจากการหมุนแกนไป 45 องศาครับ

คราวนี้ถามว่าสมการที่ใช้ในการหมุนแกนเป็นอย่างไร ปกติก็จะเรียนในแคลคูลัสปี 1-2 ครับ ถ้าเข้าใจแล้วจะลองตั้งสมการการหมุนแกนเองก็ได้ ดังนั้นตรงนี้อยากให้ลองศึกษาเพิ่มเติมเรื่องการหมุนแกนนะครับ ว่าหมุนอย่างไร ทำไมจาก $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ จึงเป็น xy = k ได้

สำหรับกราฟแนะนำให้ลองดาวน์โหลดโปรแกรม Winplot ซึ่งเป็น Freeware มาลองใช้ดูครับ โดยสมมติค่าต่างเอาเองตามที่ต้องการ การใช้งาน winplot เบื้องต้น

[เด็กแพทย์ แต่ชอบเลข]

ขอบคุณครับ ท่าน
gon
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง