|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
งง..โจทย์อนุกรม ข้อนี้ ช่วยด้วยนะคะ
จงหาผลบวกของ 2n พจน์แรกของอนุกรม
1/2 + 1/3 +1/4 +1/9 +1/8 + 1/27 อยากทราบ วิธีทำและ คำตอบ... ว่าทำอย่างงัย ขอบคุณคะ 21 มิถุนายน 2007 23:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คิม แต ฮี เหตุผล: ดูแล้ว ตาลาย |
#2
|
||||
|
||||
มันมีแค่ 6 พจน์เองครับ :|
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#3
|
||||
|
||||
แล้ว ถ้า มัน เป็นแบบ อนุกรมอนันต์
1/2 + 1/3 +1/4 +1/9 +1/8 + 1/27 + ... 22 มิถุนายน 2007 09:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คิม แต ฮี |
#4
|
||||
|
||||
งง..โจทย์อนุกรม ข้อนี้ ช่วยด้วยนะคะ
จงหาผลบวกของ 2n พจน์แรกของอนุกรม
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{27}+ ... $$ จัดรูปใหม่ได้ $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{2^3}+ \frac{1}{3^3}+ ... $$ 22 มิถุนายน 2007 09:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คิม แต ฮี |
#5
|
||||
|
||||
ยังงี้ แล้ว สามารถใช้สูตร นี้ได้มัยคะ
$$\frac{a_1}{1-r}$$ 22 มิถุนายน 2007 09:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คิม แต ฮี |
#6
|
||||
|
||||
แยกเป็นสองอนุกรมได้ครับ
\[ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...)+( \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...)\] ถ้าไม่ระบุ $a_n$ ให้ชัดเจนก็จะมีเหตุผลว่าทำไมแยกได้นั้นมี เพราะว่าแต่ละอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าเป็นโจทย์ระดับม.ปลายให้ละไว้ ในฐานที่ยังไม่รู้ครับหรือต้องการเป็นพจน์ทั่วไป $ a_n = \frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n} $ ป.ล. ทำไมตั้งกระทู้ใหม่ล่ะครับ ??
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 22 มิถุนายน 2007 09:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#7
|
||||
|
||||
เดี๋ยวนะครับ โจทย์ให้มาว่า อนุกรม
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + ...$ จงหา $S_{2n}$ ถ้าเราให้ว่า $a_n = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n}$ ตรงนี้จะไม่ถูกนะครับ เพราะตามสูตรนี้ จะได้ว่า $a_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ แต่ที่จริงแล้ว $a_1$ ของเราคือ $a_1 = \frac{1}{2}$ ครับ เว้นเสียแต่ว่า โจทย์ใส่วงเล็บมา คือเป็น $ (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3}) + ...$ แบบนี้ถึงจะเป็น $a_n = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n}$ ได้ครับ ในที่นี้เราไม่มีวงเล็บ ดังนั้น $a_n$ จะต้องแยกออกเป็นกรณีจำนวนคู่กับจำนวนคี่ครับ กล่าวคือ $a_n = \cases{\frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}} & , n \in จำนวนคี่ \cr \frac{1}{3^\frac{n}{2}} & , n \in จำนวนคู่} $ ถ้าเราต้องการหา $s_{2n}$ เราต้องหา $s_n$ มาก่อน โดยแยกกรณีออกเป็น 2 กรณีดังนี้ครับ. กรณีที่ 1 : n เป็นจำนวนคี่ $s_n = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{\frac{n-1}{2}}})$ จากนั้นใช้สูตร $s_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}$ ก็จะได้ว่า $s_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}}} - \frac{1}{2 \cdot 3^{\frac{n - 1}{2}}}$ กรณีที่ 2 : n เป็นจำนวนคู่ $s_n = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{\frac{n}{2}}})$ ก็หา $s_n$ ได้ในทำนองเดียวกัน จากนั้นแทน n ด้วย 2n ก็จะได้ $s_{2n}$ ซึ่งต้องตอบแยกเป็น 2 กรณี ครับ.
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 25 มิถุนายน 2007 23:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: เพี้ยน |
#8
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากเลย คะ ทั้งคุณ M@gpie และคุณ gon (ซึ้งใจ )
แต่ยังสงสัย นิดหน่อย ว่า ถ้า โจทย์ มันไม่ใช่แบบอนันต์ แต่ เป็น แบบนี้ $\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{9}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{27}$ ยังสามารถหา ผลบวก 2n พจน์แรกของอนุกรม ได้ มัย คะ แต่ เห็น คุณ M@gpie มันมีแค่ 6 พจน์เอง งั้นแปลว่า โจทย์น่าจะผิด ใช่มัย คะ (ปล. พอดีน้องสาวเอามาถาม เลยไม่รู้ว่า ที่บอกมามีผิดรึ ป่าว... ) 22 มิถุนายน 2007 21:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คิม แต ฮี |
#9
|
||||
|
||||
โอ้ลืมแยกกรณีคิอไปเลยครับ ขอบคุณพี่ gon
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#10
|
||||
|
||||
จิง ก้อยัง งง ๆ ว่าทำมัย เราต้อง แยก กรณี ด้วย เหรอ คะ ...
กรณีที่ 1 : n เป็นจำนวนคี่ $s_n = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{\frac{n-1}{2}}})$ จากนั้นใช้สูตร $s_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}$ ก็จะได้ว่า $$s_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}}} - \frac{1}{2 \cdot 3^{\frac{n - 1}{2}}}$$ คำนวน ยังงัย... เหรอ คะ ถึงได้เป็น $$s_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}}} - \frac{1}{2 \cdot 3^{\frac{n - 1}{2}}}$$ 22 มิถุนายน 2007 21:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คิม แต ฮี |
#11
|
||||
|
||||
ที่ต้องแยกกรณี เพราะว่า พจน์ทั่วไป เขียนแยกออกเป็น 2 กรณีครับ
สมมติว่า ถ้าเป็น \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... \] ถ้าเป็นแบบนี้ สูตรพจน์ทั่วไปของ $a_n$ เขียนได้เพียงแบบเดียว คือ $a_n = \frac{1}{2^n}$ เมื่อ n = 1, 2, 3, ... เราก็จะหาได้เลยโดยไม่ต้องแยกกรณี แต่กรณีของเรา เมื่อ n = 1 สูตรของพจน์ทั่วไปต้องใช้ \[a_n = \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}\]และ เมื่อ n = 2 สูตรของพจน์ทั่วไปต้องใช้ \[a_n = \frac{1}{3^{\frac{n}{2}}}\]เมื่อ n = 3 สูตรของพจน์ทั่วไปต้องใช้ \[a_n = \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}\]เมื่อ n = 4 สูตรของพจน์ทั่วไปต้องใช้ \[a_n = \frac{1}{3^{\frac{n}{2}}}\] จะเห็นว่ามันสลับกันไปมา เราจึงแยกกรณี คำถามนี้อาจจะยากไปสำหรับ ผู้เพิ่งเรียนหรือยังไม่มีประสบการณ์มากนักครับ. กล่าวคือไม่ควรถามเท่าไร อ้างอิง:
กรณีที่ 1 : n เป็นจำนวนคี่ $s_n = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{\frac{n-1}{2}}})$ สำหรับวงเล็บแรก คือ $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}} $ อันนี้ $a_1 = \frac{1}{2} , r = \frac{1}{2}, $ ส่วนจำนวนพจน์ n ในสูตร คือ $\frac{n+1}{2}$ ดังนั้น \[a_1\cdot \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^{\frac{n+1}{2}}}{1 - \frac{1}{2}} \] ส่วนวงเล็บหลัง $a_1 = \frac{1}{3} , r = \frac{1}{3}$ และจำนวนพจน์ คือ $\frac{n-1}{2}$ จากนั้นนำสองวงเล็บมารวมกันครับ. อ้างอิง:
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 25 มิถุนายน 2007 23:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: โอเค |
#12
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากๆๆๆๆๆ คะ พี่ gon """ พอจะเข้าใจ ... ( แต่ก้อยังยากอยู่ ) จะสู้ๆ ต่อไป คะ
|
|
|