|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ปัญหาจากข้อ 2 TMO9
โจทย์
2. ให้ $ a_1 ,a_2 ,....,a_{2012}$ เป็นจำนวนเต็มต่างกันหมด พิสูจน์ $$ \prod_{i=1}^{2012}(x-a_i) = (1006!)^2 $$ มีรากจำนวนเต็มอย่างมาก 1 ค่า Credit คุณ passer- by (ขี้เกียจพิมเอง) คือ ตอนทำอ่ะครับ ถ้าสมมติว่า พี่ๆ เป็นกรรมการตรวจข้อสอบ เเล้วผมเขียนว่า "ชัดเจนว่า $(1006!)^2$ เขียนในรูป ผลคูณของจำนวนเต็ม 2012 จำนวน ที่เเตกต่างกัน ได้เพียงรูปเเบบเดียวเท่านั้นคือ $(-1006)(-1005)(-1004)...(-1)(1)....(1006)$" จะโดนหักคะเเนน ไหมอ่ะครับ เพราะผมคิดตั้งนานเเล้วก็ยังไม่รู้ว่าจะเขียนพิสูจน์ว่าเป็นได้เเบบเดียวเท่านั้น ยังไงอ่ะครับ เน้นนะครับว่าเขียน เพราะถ้าอธิบายในรูป ของ รูปธรรม ผม ก็พอเข้าใจอ่ะครับ เเต่พอจะเขียนเข้าจริงๆ ก็ไม่รู้จะเขียนยังไงอ่ะครับ
__________________
"ที่ไหนมีทรัพย์ ที่นั้นมีอาชญากรรม"
"เมื่อตัดสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ทิ้งไป สิ่งที่เหลืออยู่ แม้ไม่น่าจะเป็นไปได้ก็ต้องเป็นความจริง" 30 เมษายน 2013 19:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Arsene Lupin |
#2
|
||||
|
||||
ถ้าเป็นพี่จะเขียนแบบนี้นะ
จำนวนเต็มบวก $1006$ จำนวนที่ต่างกัน ให้เป็น $a_1,a_2,...a_{1006}$ เรียงจากน้อยไปมาก จะได้ว่า $a_{i}\geqslant i$ แสดงว่า $a_1a_2a_3...a_{1006} \geqslant (1)(2)(3)...(1006) = 1006!$ ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $a_i=i$ เท่านั้น ส่วนอีก $1006$ ตัวที่เหลือก็จะได้ว่าผลคูณก็จะเป็น $1006!$ แต่อยากให้ลองพิสูจน์ดูเองนะครับ )
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#3
|
||||
|
||||
$\prod_{i=1}^{2012}\left|\,\right. x-a_i\left.\,\right| \geqslant (1)(1)(2)(2)(3)(3)....(1006)(1006)=(1006!)^2$ เมื่อ $x-a_1\prec...\prec x-a_{2012}$ จึงได้ว่า x มี เพียงคำตอบเดียวเท่านั้นใช่ไหมครับ??
__________________
"ที่ไหนมีทรัพย์ ที่นั้นมีอาชญากรรม"
"เมื่อตัดสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ทิ้งไป สิ่งที่เหลืออยู่ แม้ไม่น่าจะเป็นไปได้ก็ต้องเป็นความจริง" 30 เมษายน 2013 21:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Arsene Lupin |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
"ที่ไหนมีทรัพย์ ที่นั้นมีอาชญากรรม"
"เมื่อตัดสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ทิ้งไป สิ่งที่เหลืออยู่ แม้ไม่น่าจะเป็นไปได้ก็ต้องเป็นความจริง" |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เพราะ อาจมีซ้ำ
__________________
ขอปลอบใจตัวเองหน่อยนะครับ: เอาน่า..นี่แค่สนามเดียว,ถือว่าฟาดเคราะห์ละกัน สนามหน้าต้องดีแน่[เคราะห์โดนฟาดไปเกลี้ยงแล้วนี่นา] สู้ๆ |
#7
|
|||
|
|||
ลองดูsoln(credit:AOPS)
Note here are $2012$ distinct nonzero integers of form $x-a_i$ if $x$ is an integer. Also $(1006!)^2=1006.1005.......1.-1.-2......-1006$. Now if we pick one number among them and replace by a number greater than $1006$ or less than $-1006$ then certainly their product must be greater than $(1006!)^2$. Thus we conclude we can write $(1006!)^2$ as product of $2012$ distinct nonzero integers in at most one way ,so done. |
#8
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ คุณฟินิกซ์เหินฟ้า
__________________
"ที่ไหนมีทรัพย์ ที่นั้นมีอาชญากรรม"
"เมื่อตัดสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ทิ้งไป สิ่งที่เหลืออยู่ แม้ไม่น่าจะเป็นไปได้ก็ต้องเป็นความจริง" |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
รบกวนเฉลยTMO9บางข้อทีครับ | polsk133 | ข้อสอบโอลิมปิก | 8 | 16 มิถุนายน 2012 23:59 |
ข้อสอบ TMO9 ครับ | ~ArT_Ty~ | ข้อสอบโอลิมปิก | 4 | 20 พฤษภาคม 2012 15:56 |
TMO9 | Metamorphosis | ฟรีสไตล์ | 0 | 11 เมษายน 2012 21:33 |
|
|