#1
|
||||
|
||||
Determinant
เป็นข้อสอบสมาคม ม.ปลานเมื่อปีที่แล้วครับ
ให้ A เป็น matrix ขนาด $3 \times 3$ โดยที่ $A^3$= 0 และ $A^2 \not=$ 0 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ 1.) A ไม่มี $A^{-1}$ 2.) $\det(I-A) \not=$ 0 โดยที่ I เป็น matrix เอกลักษณ์ขนาด $3 \times 3$ ข้อไหนเป็นจริงบ้างครับ |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$A^3= \underline{0}\rightarrow detA^3=\underline{0} \rightarrow detA=0\rightarrow \therefore A$ ไม่มี $A^{-1}$ $A^3= \underline{0}$ $A^3-I^3=-I^3$ $(A-I)(A^2+A+I)=-I^3$ $det(A-I)det(A^2+A+I)=det(-I^3)=-1$ $\therefore det(A-I)\not= 0$ $\therefore det(I-A)\not= 0$ |
#3
|
||||
|
||||
อันที่ 2 ได้เหมือนกันครับ
แต่อันแรกผมติดตรง $A^2 \not= \underline{0}$ $\det A^2 \not \underline{0}$ $\det A \not= \underline{0}$ แต่จาก $A^3= \underline{0}$ มันได้ $\det A=0$ อีกข้อครับ A,B,C,D เป็น matrix ขนาด $5\times 5$ โดย $\det A=2 , \det B=3 ,\det C=4$ และ $adj(adj(AB))=108CD$ จงหา $\det C$ ผมทำโดย $X^{-1} = \dfrac{1}{\det X} \cdot adj (X)$ แล้วก็เอาไปแทน $adj(adj(AB)) = adj ( (AB)^{-1} \det AB)$ $= 6 adj((AB)^{-1})$ ตรงนี้ผมไม่ค่อยแน่ใจครับ ผมคิดว่า adj เป็นเมตริกซ์ เมตริกซ์หนึ่ง จึงสามารถดึงออกมาได้ $= AB$ $AB=108CD$ $\det(AB)=\det (108CD)$ แต่มันไม่มีในช้อยส์อ่ะครับ 05 มกราคม 2013 19:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ BLACK-Dragon |
#4
|
||||
|
||||
$A^2\not= \underline{0}$ แต่ $detA=0$ ได้ครับ
$\bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} ^2=\bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} \bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} =\bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} \rightarrow det=0$ ........................................................................... $adj(kA)=det(kA)(kA)^{-1}=(k^ndetA)(k^{-1}A^{-1})=k^{n-1}adjA$ |
#5
|
||||
|
||||
#4 ขอบคุณมากครับ
#5 ทำไมหรอครับ ? |
#6
|
|||
|
|||
จะมาบอกเหมือน #4 ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
||||
|
||||
สรุปคือ ถ้า $ A^n = \underline{0}$ มันจะสามารถสรุปได้ว่า $\det A=0$
แต่ $A^n \not= \underline{0}$ ไม่สามารถไปสรุปได้ว่า $\det A \not= 0$ แบบนี้หรอครับ ขอโจทย์อีกได้ไหมครับ |
#8
|
||||
|
||||
เอาคล้ายๆกับข้อแรกนะครับ
ให้ A เป็นเมทริกซ์ 3x3 โดย $ A^3$=0 , $A^2 \not=$ 0 จงแสดงว่า $det(I+A+A^2)\not=$ 0 เมื่อ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ 3x3 |
#9
|
||||
|
||||
มันต่างอะไรจากข้อแรกหรอครับ ?
|
#10
|
||||
|
||||
= ="
|
#11
|
||||
|
||||
ผมไม่ได้จะว่าอะไรหรอกครับ อย่าคิดมาก
ผมพึ่งอ่าน เรื่อง matrix เมื่อกลางวันนี้เอง เลยไม่รู้จริง ๆว่ามันต่างกันหรือเปล่า ผมเลยถามครับ ผมค่อยเก่ง อย่าคิดมากครับ ผมขอโทษที่พิมพ์ไปแบบ ผมผิดเองแหละ |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ในการหา det $det(A^k)=(detA)^k$ , k เป็นจำวนเต็มบวก ใช้สูตรนี้กับข้อมูล $A^3 \not= $0 take det เข้าไป ; $det(A^3)=(detA)^3\not =$det(0)=0 จะได้ว่า $detA\not = 0$ ใช้สูตรนี้กับข้อมูล $A^2=$0 take det เข้าไป ; $det(A^2)=(detA)^2$=det(0)=0 จะได้ว่า detA=0 ซึ่งขัดแย้งกัน ทีนี้ ที่คุณ lek2554 ยกตัวอย่างมา คือตัวอย่างค้านของ detA=0 อยากจะถามว่า 1.ทำไมใช้สูตรกับข้อมูลที่โจทย์ให้มาทั้งสอง แล้วได้ผลลัพธ์ไม่เหมือนกัน 2.คุณ lek2554 ได้ยกตัวอย่างค้าน detA=0 แล้วคุณ lek2554 สามารถทราบได้อย่างไรว่า ไม่มีตัวอย่างค้านของ $detA\not = 0$ |
#13
|
||||
|
||||
ถ้า $A=B$ แล้ว $detA=detB$ ข้อความนี้ถูก
ถ้า $A\not= B$ แล้ว $detA\not= detB$ ข้อความนี้ผิดครับ ถ้า $A\not= B$ แล้วไม่สามารถสรุปได้ว่า $detA\not= detB$ ครับ ตัวอย่างเช่น $A=\bmatrix{1 & 1 \\ 1 & 1} , B=\bmatrix{2 & 2 \\ 2 & 2}$ $A\not= B$ แต่ $detA=detB$ |
#14
|
||||
|
||||
อ่อ พอเข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ช่วยพิสูจน์ determinant ข้อนี้หน่อยครับ | HTR | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 1 | 07 กันยายน 2010 19:38 |
determinant ครับ | erk12th | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 3 | 22 มกราคม 2007 13:13 |
นิยามของ Determinant คืออะไรครับ | Math man | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 7 | 30 ตุลาคม 2006 17:20 |
|
|