#1
|
||||
|
||||
ช่วยหน่อยครับ
ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{ab+bc+cd}$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้า |
#2
|
|||
|
|||
ไม่แน่ใจว่ามีค่าต่ำสุดรึเปล่าเำพราะมันขาด $da$ ไป
โดยอสมการโคชีเราได้ว่า $ab+bc+cd<ab+bc+cd+da\leq a^2+b^2+c^2+d^2$ ดังนั้น $\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{ab+bc+cd}>1$ ได้แค่นี้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
มีค่าต่ำสุดแน่นอนครับ ค่าต่ำสุดของมันคือ $\sqrt{5}-1$
อสมการเป็นสมการเมื่อ $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ $b=1$ $c=1$ $d=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ $b=1$ $c=1$ $d=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ผมไม่เข้าใจ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้า |
#5
|
||||
|
||||
.....จริงๆแล้วเฉลยมันน่าจะมีอยู่ด้านหลังๆของหนังสือไม่ใช่หรอครับ?
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity |
#6
|
||||
|
||||
แนวคิดคืออย่างนี้ครับ
สมมติ $0<x,y<1$ $a^2+xb^2 \geq 2 \sqrt {x}ab $ $(1-x)b^2+yc^2 \geq \sqrt {(1-x)y}bc$ $(1-y)c^2+d^2 \geq \sqrt {1-y}cd$ แล้วหาค่า x,y ซึ่ง $\sqrt {x}=\sqrt {(1-x)y}=\sqrt {1-y}$ จะได้ $x= \frac {3-\sqrt {5}}{2},y= \frac {\sqrt {5}-1}{2}$ เมื่อนำสามสมการบวกกันจะได้ $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq (\sqrt {5}-1)(ab+bc+cd) $
__________________
PHOENIX
NEVER DIE |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ขงเบ้งแน่นๆ เลยครับ เพราะด้วยสติปัญญาผมคงไม่้สามารถคิดวิธีนี้ออกแน่เลยครับ ปัญหาของผมก็คือผมจะรู้ได้อย่างไรจะต้องเริ่มต้นด้วยอะไร หรือรู้ได้อย่างไรว่าจะต้องแทนa =..., b =..., ถ้าเป็นไปได้ช่วยชี้แนะด้วยว่าตัวเลขเหล่านั้นมีที่มาอย่างไรหรือมาจากการสังเกต หรือมาจากประสบการณ์ล้วนๆ ครับ |
|
|