|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ปัญหาการพิสูจน์เกี่ยวกับ matrix
อยากทราบว่าเราจะพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ได้อย่างไรครับ
ให้ A, B เป็นเมตริกซ์จัตุรัส ถ้า AB = I แล้ว BA = I จะเห็นได้ไม่ยากว่าข้อความข้างต้นเป็นจริง เพราะถ้าเราใส่ determinant ลงไปก็จะทำให้เห็นว่า A และ B invertible (มี determinant ไม่เป็น 0) เอา A-1 คูณตลอดจะได้ว่า B = A-1 ดังนั้น BA = I แต่ผมอยากได้การพิสูจน์ที่ใช้แค่สมบัติพื้นฐานของเมตริกซ์ ไม่ต้องไปพึ่งถึงเรื่องไกลๆอย่าง determinant น่ะครับ สังเกตนิดนึงว่าจาก AB = I นั้นเราบอกได้เพียงว่า B เป็น right inverse ของ A เรายังบอกไม่ได้ว่า B เป็น inverse ของ A (ไม่งั้นก็คงไม่ต้องพิสูจน์อะไรแล้ว ) ดังนั้นจุดสำคัญของการพิสูจน์น่าจะอยู่ที่การแสดงว่า A มี left inverse ด้วย (ซึ่งถ้าทำได้เราจะได้ผลที่ต้องการทันที เพราะถ้ามีทั้ง left และ right inverse เรารู้ว่ามันจะต้องเป็นตัวเดียวกัน) ขอบคุณล่วงหน้าครับ 28 พฤศจิกายน 2005 14:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 7 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#2
|
|||
|
|||
เป็นคำถามที่น่าสนใจดีครับ
ในความคิดผม หากพิสูจน์ lemma ที่บอกว่า ถ้า AP=A แล้ว P= I ได้ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทที่คุณ warut ถามได้แล้วนะครับ เพราะ จาก AB= I ดังนั้น (AB)A=A หรือ A(BA)=A แล้วก็ apply lemma ข้างต้น ก็น่าจะจบแล้วนะครับ แต่ถ้า lemma นี้ไม่เป็นจริง อันนี้ ผมก็มืด 8 ด้าน แล้วครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#3
|
|||
|
|||
ใช้ linear transformation ครับ
นิยาม linear operator T,U : Fn --> Fn โดย T(x) = Ax, U(x) = Bx จะได้ว่า TU เป็น identity operator ดังนั้น T เป็นฟังก์ชัน onto จากนั้นใช้ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า T : V --> V เป็น linear operator โดยที่ V เป็น finite dimensional vector space แล้วสามข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน (1) T เป็นฟังก์ชัน 1-1 (2) T เป็นฟังก์ชัน onto (3) T invertible ส่วนการพิสูจน์ตรงๆโดยการหา left inverse นั้นผมว่ายังมีข้อมูลน้อยเกินไปครับ แต่ถ้าคุณ warut อยากลองพิสูจน์ด้วยวิธีนี้ลองค้นจากหนังสือพวก Semigroup Theory ดูครับจะมีเทคนิคการพิสูจน์พวกนี้เยอะแยะทีเดียว ตอนนี้ผมทิ้งไปเยอะแล้วอ่ะ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
|||
|
|||
ขอบคุณสำหรับทุกความเห็นครับ ผมว่าวิธีของคุณ nooonuii น่าจะดีที่สุดแล้วล่ะ วิธีพื้นๆแบบมัธยมไม่น่าจะเพียงพอสำหรับการพิสูจน์ แล้วคงจะมีคำถามแนวๆนี้มาอีก ขอบคุณอีกครั้งครับ
|
#5
|
|||
|
|||
นาน ๆ จะมีคนถามเรื่องที่ผมพอจะตอบได้ ขอตอบหน่อยนะคับ แต่ไม่รู้จะถูกมั๊ยนะ
เนื่องจากเซตของเมทริกซ์ไม่เอกฐานขนาด $n \times n$ เป็นกรุปภายใต้การคูณเมทริกซ์ ณ ที่นี้ขอตั้งชื่อว่ากรุป $G$ เห็นได้ชัดว่า $I$ คือ เอกลักษณ์ของ $G$ ดังนั้นถ้า $A, B \in G$ และ $AB = I$ จะได้ว่า $BA = I$ ผมตอบตรงคำถามรึปล่าวครับ???
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#7
|
|||
|
|||
งั้นเอาแบบละเอียดนะครับ
บทตั้ง 1 ให้ $G$ เป็นกรุป และ $I \in G$ ซึ่ง $IA = A$ ทุก $A \in G$ ถ้า $X$ เป็นสมาชิกใน $G$ ซึ่ง $XX = X$ แล้ว $X = I$ การพิสูจน์ ให้ $G$ เป็นกรุป และ $X$ เป็นสมาชิกใน $G$ ซึ่ง $XX = X$ โดยบทนิยามของกรุป จะมี $Y$ ใน $G$ ซึ่ง $YX = I$ ดังนั้น $I = YX = Y(XX) = (YX)X = IX = X$ ให้ $G$ เป็นกรุป ต้องการพิสูจน์ว่าถ้า $A, B \in G$ และ $AB = I$ แล้ว $BA = I$ การพิสูจน์ ให้ $G$ เป็นกรุป $A, B \in G$ ซึ่ง $AB = I$ เนื่องจาก $$(BA)(BA) = B(AB)A = BIA = B(IA) = BA$$ ดังนั้นโดยบทตั้ง 1 จะได้ว่า $BA = I$
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง |
#8
|
|||
|
|||
ถ้าเราสมมติว่าเซตของ invertible matrices เป็น group ทุกอย่างก็จบครับ แต่คำถามที่คุณ Warut ถามมาผมว่าเรากำลังพิสูจน์ภายใต้ข้อสมมติที่ว่า เซตของ matrices ภายใต้การคูณปกติของ matrix เป็น semigroup มากกว่าครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
|||
|
|||
งั้นเปลี่ยนแนว
ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ขนาด n ด n ซึ่ง AB = I พิจารณาระบบสมการ Bx = 0 เห็นได้ชัดว่าเมทริกซ์ 0 เป็นผลเฉลยของระบบสมการนี้ ให้ x0 เป็นผลเฉลยหนึ่งของระบบสมการนี้ (ระบบสมการนี้อาจจะมีหลายผลเฉลย) ดังนั้น Bx0 = 0 เอา A คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของสมการ จะได้ ABx0 = A0 นั่นคือ Ix0 = 0 เพราะฉะนั้น x0 = 0 จึงสรุปได้ว่าระบบสมการนี้มีผลเฉลยเดียว แสดงว่า B เป็น invertible matrix และ B-1 = A ดังนั้น AB = BA = I ใช้ได้มั๊ยเอ่ย
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง 22 มีนาคม 2006 14:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ alongkorn |
#10
|
|||
|
|||
ขอบคุณ คุณ alongkorn มากครับ สำหรับการพิสูจน์อันสวยงาม แต่ยังไงผมคงต้องกลับไปทบทวนเรื่อง matrix อีกที ถึงจะชัวร์ว่าเรื่องไหนมาก่อนมาหลังกันแน่ แล้วก็ขอบคุณ คุณ nongtum กับ คุณ nooonuii ด้วยครับ ที่ช่วยเข้ามาตอบระหว่างที่ผมเดี้ยงอยู่
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
matrix problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 5 | 14 กรกฎาคม 2008 10:35 |
ช่วยหน่อยครับ เรื่อง Matrix | Epsilon | พีชคณิต | 11 | 17 ธันวาคม 2005 20:55 |
รบกวนถามเรื่อง matrix หน่อยคับ | prachya | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 15 | 15 สิงหาคม 2005 20:01 |
ใครชอบ matrix เชิญทางนี้ | alongkorn | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 12 | 05 ตุลาคม 2004 14:37 |
โจทย์เกี่ยวกับ matrix | warut | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 10 | 25 ธันวาคม 2001 04:38 |
|
|