งง..โจทย์อนุกรม ข้อนี้ ช่วยด้วยนะคะ

[คิม แต ฮี]

จงหาผลบวกของ 2n พจน์แรกของอนุกรม

1/2 + 1/3 +1/4 +1/9 +1/8 + 1/27



อยากทราบ วิธีทำและ คำตอบ... ว่าทำอย่างงัย ขอบคุณคะ

[M@gpie]

มันมีแค่ 6 พจน์เองครับ :|

[คิม แต ฮี]

แล้ว ถ้า มัน เป็นแบบ อนุกรมอนันต์
1/2 + 1/3 +1/4 +1/9 +1/8 + 1/27 + ...

[คิม แต ฮี]

จงหาผลบวกของ 2n พจน์แรกของอนุกรม



$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{27}+ ... $$


จัดรูปใหม่ได้

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{2^3}+ \frac{1}{3^3}+ ... $$

[คิม แต ฮี]

ยังงี้ แล้ว สามารถใช้สูตร นี้ได้มัยคะ

$$\frac{a_1}{1-r}$$

[M@gpie]

แยกเป็นสองอนุกรมได้ครับ
\[ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...)+( \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...)\]
ถ้าไม่ระบุ $a_n$ ให้ชัดเจนก็จะมีเหตุผลว่าทำไมแยกได้นั้นมี

ที่มา...

เพราะว่าแต่ละอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์

ถ้าเป็นโจทย์ระดับม.ปลายให้ละไว้ ในฐานที่ยังไม่รู้ครับ

หรือต้องการเป็นพจน์ทั่วไป $ a_n = \frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n} $

ป.ล. ทำไมตั้งกระทู้ใหม่ล่ะครับ ??

[gon]

เดี๋ยวนะครับ โจทย์ให้มาว่า อนุกรม
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + ...$
จงหา $S_{2n}$

ถ้าเราให้ว่า $a_n = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n}$ ตรงนี้จะไม่ถูกนะครับ เพราะตามสูตรนี้ จะได้ว่า
$a_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ แต่ที่จริงแล้ว $a_1$ ของเราคือ $a_1 = \frac{1}{2}$ ครับ

เว้นเสียแต่ว่า โจทย์ใส่วงเล็บมา คือเป็น $ (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3}) + ...$
แบบนี้ถึงจะเป็น $a_n = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n}$ ได้ครับ

ในที่นี้เราไม่มีวงเล็บ ดังนั้น $a_n$ จะต้องแยกออกเป็นกรณีจำนวนคู่กับจำนวนคี่ครับ กล่าวคือ
$a_n = \cases{\frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}} & , n \in จำนวนคี่ \cr \frac{1}{3^\frac{n}{2}} & , n \in จำนวนคู่} $

ถ้าเราต้องการหา $s_{2n}$ เราต้องหา $s_n$ มาก่อน โดยแยกกรณีออกเป็น 2 กรณีดังนี้ครับ.

กรณีที่ 1 : n เป็นจำนวนคี่
$s_n = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{\frac{n-1}{2}}})$

จากนั้นใช้สูตร $s_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}$ ก็จะได้ว่า
$s_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}}} - \frac{1}{2 \cdot 3^{\frac{n - 1}{2}}}$

กรณีที่ 2 : n เป็นจำนวนคู่
$s_n = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{\frac{n}{2}}})$

ก็หา $s_n$ ได้ในทำนองเดียวกัน

จากนั้นแทน n ด้วย 2n ก็จะได้ $s_{2n}$ ซึ่งต้องตอบแยกเป็น 2 กรณี ครับ.

[คิม แต ฮี]

ขอบคุณมากเลย คะ ทั้งคุณ M@gpie และคุณ gon (ซึ้งใจ )

แต่ยังสงสัย นิดหน่อย ว่า ถ้า โจทย์ มันไม่ใช่แบบอนันต์ แต่ เป็น แบบนี้

$\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{9}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{27}$

ยังสามารถหา ผลบวก 2n พจน์แรกของอนุกรม ได้ มัย คะ


แต่ เห็น คุณ M@gpie มันมีแค่ 6 พจน์เอง งั้นแปลว่า โจทย์น่าจะผิด ใช่มัย คะ

(ปล. พอดีน้องสาวเอามาถาม เลยไม่รู้ว่า ที่บอกมามีผิดรึ ป่าว... )

[M@gpie]

โอ้ลืมแยกกรณีคิอไปเลยครับ ขอบคุณพี่ gon

[คิม แต ฮี]

จิง ก้อยัง งง ๆ ว่าทำมัย เราต้อง แยก กรณี ด้วย เหรอ คะ ...

กรณีที่ 1 : n เป็นจำนวนคี่
$s_n = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{\frac{n-1}{2}}})$

จากนั้นใช้สูตร $s_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}$ ก็จะได้ว่า
$$s_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}}} - \frac{1}{2 \cdot 3^{\frac{n - 1}{2}}}$$

คำนวน ยังงัย... เหรอ คะ ถึงได้เป็น

$$s_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}}} - \frac{1}{2 \cdot 3^{\frac{n - 1}{2}}}$$

[gon]

ที่ต้องแยกกรณี เพราะว่า พจน์ทั่วไป เขียนแยกออกเป็น 2 กรณีครับ

สมมติว่า ถ้าเป็น \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... \] ถ้าเป็นแบบนี้ สูตรพจน์ทั่วไปของ $a_n$ เขียนได้เพียงแบบเดียว คือ $a_n = \frac{1}{2^n}$ เมื่อ n = 1, 2, 3, ... เราก็จะหาได้เลยโดยไม่ต้องแยกกรณี

แต่กรณีของเรา เมื่อ n = 1 สูตรของพจน์ทั่วไปต้องใช้ \[a_n = \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}\]และ เมื่อ n = 2 สูตรของพจน์ทั่วไปต้องใช้ \[a_n = \frac{1}{3^{\frac{n}{2}}}\]เมื่อ n = 3 สูตรของพจน์ทั่วไปต้องใช้ \[a_n = \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}\]เมื่อ n = 4 สูตรของพจน์ทั่วไปต้องใช้ \[a_n = \frac{1}{3^{\frac{n}{2}}}\]
จะเห็นว่ามันสลับกันไปมา เราจึงแยกกรณี

คำถามนี้อาจจะยากไปสำหรับ ผู้เพิ่งเรียนหรือยังไม่มีประสบการณ์มากนักครับ. กล่าวคือไม่ควรถามเท่าไร

คำนวน ยังงัย... เหรอ คะ ถึงได้เป็น

$$s_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}}} - \frac{1}{2 \cdot 3^{\frac{n - 1}{2}}}$$

กรณีที่ 1 : n เป็นจำนวนคี่
$s_n = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... +

\frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{\frac{n-1}{2}}})$

สำหรับวงเล็บแรก คือ $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}} $

อันนี้ $a_1 = \frac{1}{2} , r = \frac{1}{2}, $ ส่วนจำนวนพจน์ n ในสูตร คือ $\frac{n+1}{2}$

ดังนั้น \[a_1\cdot \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^{\frac{n+1}{2}}}{1 - \frac{1}{2}} \]

ส่วนวงเล็บหลัง $a_1 = \frac{1}{3} , r = \frac{1}{3}$ และจำนวนพจน์ คือ $\frac{n-1}{2}$

จากนั้นนำสองวงเล็บมารวมกันครับ.

กรณีเตรียมสอบ ควรจะทบทวนโดยการทำโจทย์พื้นฐานให้แม่นก่อน อันได้แก่
1. หาพจน์ทั่วไป ของลำดับ เลขคณิต และ เรขาคณิต ให้เป็น
2. หาอนุกรม ของลำดับ เลขคณิต และ เรขาคณิต ให้เป็น
3. นับจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณิต เป็น เช่น 4, 7, 10, ... , 61 มีทั้งหมดกี่พจน์ โดยอาศัยสูตร $a_n = a_1 + (n-1)d$ ซึ่งก็จะได้ว่า $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$ สูตรนี้ใช้บ่อยมากครับ
4. นับจำนวนพจน์ของลำดับเรขาคณิต เป็น

เอาพื้นฐานให้แม่นก่อนครับว่า สูตรแต่ละสูตร ใช้ตัวแปรอย่างไร ส่วนโจทย์พิสดารหรือยากเกินไป ถ้าทำตอนนี้ไม่ได้ก็ยังไม่เป็นไรครับ ค่อยๆเก็บเกี่ยวประสบการณ์ไป

[คิม แต ฮี]

ขอบคุณมากๆๆๆๆๆ คะ พี่ gon """ พอจะเข้าใจ ... ( แต่ก้อยังยากอยู่ ) จะสู้ๆ ต่อไป คะ