|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Number Theory พิสูจน์ ครับ
$ax^2(c+b)x+(e+d)=0$ มีรากเป็นจำนวนจริงที่มีค่ามากกว่า 1 แล้ว จงแสดงว่าสมการ
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ มีรากเป็นจำนวนจริงอย่างน้อย 1 ตัว 01 กันยายน 2012 15:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์ |
#2
|
|||
|
|||
รีบไปหน่อยนะ กลับมาแก้โจทย์ก่อน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
แก้แล้วครับ ขอโทษจิงๆ
|
#4
|
|||
|
|||
ตรงนี้หมายถึงอะไรครับ
ไม่มี $b$ ด้วยเหรอครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
||||
|
||||
เปง c+b ครับแก้แล้ว
|
#6
|
|||
|
|||
โจทย์เป็นแบบนี้เหรอครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
||||
|
||||
|
#8
|
||||
|
||||
มันคือ USAMO ปีเก่าๆ
ให้ $P(x)=ax^2+(b+c)x+d+e$ $Q(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ สังเกตว่า $Q(x)=P(x^2)+(bx^2+d)(x-1)$ แล้วพิสูจน์ขัดแย้งครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#9
|
||||
|
||||
อ่อ ออกแล้วคร่าปผม ขอบคุณมากครับ
|
#10
|
|||
|
|||
ไปแกะวิธีนี้มาจาก AOPS ครับ
ให้ $Q(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ สมมติว่า $r$ คือรากของ $ax^2+(b+c)x+(d+e)$ จะได้ $ar^2+cr+e=-(br+d)$ ดังนั้น $Q(\sqrt{r})=(br+d)(\sqrt{r}-1)$ $Q(-\sqrt{r})=-(br+d)(\sqrt{r}+1)$ $Q(\sqrt{r})Q(-\sqrt{r})=(1-r)(br+d)^2\leq 0$ จึงได้ว่าจะมีรากของ $Q(x)$ อยู่ในช่วง $[-\sqrt{r},\sqrt{r}]$ ที่ไม่ชอบวิธีนี้เท่าไหร่คือต้องอ้าง Intermediate Value Theorem ครับ ป.ล. ลืมถามว่า USAMO ปีไหนครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 02 กันยายน 2012 09:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#11
|
||||
|
||||
จริงๆแล้วโจทย์ข้อนี้ตัวอย่างในวิชาพีชคณิตค่ายสวนกุหลาบเก่าครับ
อาจารย์บอกว่าเป็น USAMO แต่พอผมลอง Search ดูจริงๆ ดันไม่เจอ อันนี้เป็นวิธีทำในค่ายครับ ไม่รู้ว่าผิดถูกยังไง ชี้แนะด้วยนะครับ ต่อจากบรรทัด $Q(x)=P(x^2)+(bx^2+d)(x-1)$ เราสมมติว่า $Q(x)>0$ ทุก $x$ เลือกให้ $w^2$ เป็นรากของสมการ $P(x)=0$ ได้ว่า $Q(w),Q(-w)$ มากกว่า 0 ทำให้ $(bw^2+d)(w-1) > 0$ และ $(bw^2+d)(-w-1) > 0$ ด้วย เพราะว่า $(bx^2+d)$ เครื่องหมายต้องเหมือนกัน บังคับว่า $(w-1)(-w-1) > 0$ เท่านั้น ทำให้ได้ว่า $w^2 < 1$ ซึ่งขัดแย้งกับโจทย์ที่บอกว่ารากต้องมากกว่า 1 กรณี $Q(x) < 0$ ทุก $x$ ก็ทำแบบเดียวกัน
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#12
|
||||
|
||||
จริงด้วย มีอยู่จริงๆครับ
|
#13
|
|||
|
|||
#11 วิธีนี้ยังขาดกรณีที่ $P(x)>0$ บาง $x$ กับ $P(y)<0$ บาง $y$ นะ
ตรงนี้แหละครับที่ต้องอ้าง Intermediate Value Theorem
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#14
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ผมถึงว่าที่ลอกมาไม่เห็นมี Intermediate Value Theorem เลย
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 23: Number Theory once more | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 17 | 28 ธันวาคม 2011 20:38 |
อยากทราบแขนงของวิชา NUMBER THEORY ครับ | pure_mathja | ทฤษฎีจำนวน | 11 | 03 ตุลาคม 2008 21:24 |
ถามโจทย์เกี่ยวกับ number theory ซัก 2 ข้อนะครับ | chaitung | ทฤษฎีจำนวน | 4 | 05 ตุลาคม 2007 09:00 |
ปัญหา Number Theory | kanji | ทฤษฎีจำนวน | 4 | 16 พฤศจิกายน 2005 20:30 |
|
|