|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ผมมีอสมการข้อนึง อยากได้หลายๆSolutionอะครับ
ให้ \(a,b,c\) เป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมแหลม จงแสดงว่า
\(a+b+c \geq \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}+ \sqrt{a^{2}-b^{2}+c^{2}}+\sqrt{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}\) จาก Power mean จะได้ \(\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2} } +\sqrt{\frac{y^{2}+z^{2}}{2} }+\sqrt{\frac{z^{2}+x^{2}}{2} }\geq x+y+z \) ทุก \(x,y,z> 0\) เนื่องจาก\(a,b,c\) เป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมแหลม ดังนั้น \[\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}, \sqrt{a^{2}-b^{2}+c^{2}},\sqrt{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}> 0\] จึงสามารถแทน \[x=\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}, y=\sqrt{a^{2}-b^{2}+c^{2}}, z=\sqrt{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}\] จะได้ว่า \[a+b+c \geq \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}+ \sqrt{a^{2}-b^{2}+c^{2}}+\sqrt{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}\] ตามต้องการ |
#2
|
||||
|
||||
$\sqrt{a^2+b^2-c^2} + \sqrt{a^2-b^2+c^2} \leq \sqrt{2}(\sqrt{2a^2}) = 2a$ โดยอสมการโคชี
$$\therefore \sum_{cyc}(\sqrt{a^2+b^2-c^2} + \sqrt{a^2-b^2+c^2}) \leq 2(a+b+c)$$ $\therefore$ $2(\sqrt{a^2+b^2-c^2} + \sqrt{a^2-b^2+c^2}+\sqrt{-a^2+b^2+c^2}) \leq 2(a+b+c)$ $\therefore$ $a+b+c \geq (\sqrt{a^2+b^2-c^2} + \sqrt{a^2-b^2+c^2}+\sqrt{-a^2+b^2+c^2})$ |
#3
|
||||
|
||||
ผมอ่านแล้วรู้สึกเป็น Solution ที่ใช้โคชีได้เจ๋งมากเลย
ขอบคุณมากครับ |
#4
|
||||
|
||||
จาก a,b,c เป็นด้านของสามเหลี่ยม เพราะฉะนั้น
โดยโคชี $\sum_{cyc} {\sqrt {a^2+b^2-c^2}} = \sum_{cyc} {\sqrt {2bc \dot cosA }} \leq \sqrt {(ab+bc+ca)(2cosA+2cosB+2cosC)}$ แต่โดย Jensen เราสามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่า $\sqrt {(ab+bc+ca)(2cosA+2cosB+2cosC)} \leq {a+b+c}$
__________________
เป็นมนุษย์สุดจะดิ้นเพียงกลิ่นปาก จะได้ยากเป็นกลากเพราะปากเหม็น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ิbest solution | pe | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 7 | 20 พฤศจิกายน 2005 19:39 |
|
|