จำนวนเชิงซ้อน + เซตครับ

[Oriel]

1.กำหนดให้ $k$ เป็นค่าคงตัว จงหาค่า $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $|z-i|+|z-2\sqrt{3}-i|=k$
2.กำหนดให้ $r_1=\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \,| \, |x|\geqslant |y|\}$ และ $r_2=\{ (x,y)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, |\, y=x^2-2\}$ ถ้า $r=r_1\cap r_2$ จงหา $D_r$ และ $R_r$

[Metamorphosis]

ข้อแรกเป็นโจทย์สมาคมคณิตศาสตร์ปีล่าสุด ลองหาดูครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

1.กำหนดให้ $k$ เป็นค่าคงตัว จงหาค่า $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $|z-i|+|z-2\sqrt{3}-i|=k$

ข้อ 1. เนื่องจาก $|z_1 - z_2|$ แทนระยะห่างระหว่างจุด $z_1$ กับ $z_2$ บนระนาบเชิงซ้อน ดังนั้น $|z-i| + |z-2\sqrt{3}-i|$ จะแทนเซตของจุด $z$ ใด ๆ บนระนาบเชิงซ้อนที่มีผลบวกของระยะทางจากจุด $z$ ใด ไปยังจุด $(0, 1)$ กับ $(2\sqrt{3}, 1)$ มีค่าคงตัว นั่นก็คือโดยทั่วไปแล้ว จะแทนเซตของวงรีที่มีโฟกัสอยู่ที่ $(0, 1)$ กับ $(2\sqrt{3}, 1)$ โดยที่มีแกนเอกมากกว่าระยะห่างระหว่างโฟกัสทั้งสองคือ $2\sqrt{3}$ (โดยอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม $a+b > c$) หรือก็คือ $k > 2\sqrt{3}$

แต่ถ้าให้ผลบวกของด้านสองด้านใด ๆ ของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับด้านที่สามได้คือ $a+b = c$ แสดงว่าเซตดังกล่าวจะเป็นเซตของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองเป็น $(0, 1)$ กับ $(2\sqrt{3}, 1)$ นั่นก็คือ $k$ น้อยสุดเท่ากับ $2\sqrt{3}$

[Oriel]

ถ้า $r=r_1\cap r_2$ แล้วจะสรุปว่า $D_r=D_{r_1}\cap D_{r_2}$ และ $R_r=R_{r_1}\cap R_{r_2}$ ได้ไหมครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

2.กำหนดให้ $r_1=\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \,| \, |x|\geqslant |y|\}$ และ $r_2=\{ (x,y)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, |\, y=x^2-2\}$ ถ้า $r=r_1\cap r_2$ จงหา $D_r$ และ $R_r$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

ถ้า $r=r_1\cap r_2$ แล้วจะสรุปว่า $D_r=D_{r_1}\cap D_{r_2}$ และ $R_r=R_{r_1}\cap R_{r_2}$ ได้ไหมครับ

โดยผิวเผินเหมือนจะได้ แต่ความจริงแล้วไม่ได้ครับ โจทย์ประเภทนี้วิธีที่ผมใช้อยู่เป็นประจำก็คือ เอาความสัมพันธ์ทั้งสองมาเชื่อมโยงเข้าด้วยกัน. (ไม่จำเป็นต้องวาดรูป)

อย่างในข้อนี้ ถ้าจะหาโดเมน ก็คือแก้อสมการ $|x| \ge |x^2-2|$

ในขณะที่ ถ้าจะหาเรนจ์ ก็แก้อสมการ $y+2 \ge |y|^2$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

ถ้า $r=r_1\cap r_2$ แล้วจะสรุปว่า $D_r=D_{r_1}\cap D_{r_2}$ และ $R_r=R_{r_1}\cap R_{r_2}$ ได้ไหมครับ

ถามทั้งที ต้องเอาให้คุ้มครับ

ถ้า $r=r_1\cup r_2$ แล้วจะสรุปว่า $D_r=D_{r_1}\cup D_{r_2}$ และ $R_r=R_{r_1}\cup R_{r_2}$ ได้ไหมครับ

ถ้า $r=r_1-r_2$ แล้วจะสรุปว่า $D_r=D_{r_1}- D_{r_2}$ และ $R_r=R_{r_1}- R_{r_2}$ ได้ไหมครับ

ปล. คุณกรตื่นมาตอบแต่เช้าเลยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ถามทั้งที ต้องเอาให้คุ้มครับ

ถ้า $r=r_1\cup r_2$ แล้วจะสรุปว่า $D_r=D_{r_1}\cup D_{r_2}$ และ $R_r=R_{r_1}\cup R_{r_2}$ ได้ไหมครับ

ถ้า $r=r_1-r_2$ แล้วจะสรุปว่า $D_r=D_{r_1}- D_{r_2}$ และ $R_r=R_{r_1}- R_{r_2}$ ได้ไหมครับ

ปล. คุณกรตื่นมาตอบแต่เช้าเลยครับ

วันก่อนผมนอน 4 ทุ่ม ตื่นมาตอนตี 2 ครับคุณเล็ก เลยนั่งยาวเลย

ยูเนียน น่าจะจริง แต่ถ้าเป็นผลต่าง อันนี้ไม่จริงแน่นอน.