|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์ฟังก์ชันเลขคณิต
จงพิสูจน์ว่า $n$ เป็นจำนวนเฉพาะ $\Longleftrightarrow$ $\sigma(n)+\phi (n) = n$ $\cdot$ $\tau(n)$
--------------------------------------------------------------- หมายเหตุ $\sigma(n)$ คือ จำนวนของตัวประกอบบวกทั้งหมดของ $n$ $\phi(n)$ คือ จำนวนของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ของ $n$ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $n$ $\tau(n)$ คือ ผลบวกของตัวประกอบบวกทั้งหมดของ $n$ |
#2
|
|||
|
|||
$\Rightarrow$ แสดงได้ไม่ยากว่าถ้า $n$ เป็นจำนวนเฉพาะแล้วเงื่อนไขเป็นจริง
$\Leftarrow$ สมมติว่า $n$ เป็นจำนวนประกอบ ให้$d_1,d_2,....,d_{\tau{(n)}}$ เป็นตัวประกอบทั้งหมดของ $n$ โดยที่$d_1=1$ $ d_\tau{(n)}=n$ $\tau{(n)}>2$ทำให้ได้ว่า $(n-d_2)\geqslant1$ ส่งผลให้ $\phi{(n)}= (n-d_1)+(n-d_2)+......+(n-d_\tau{(n)})$ $\geqslant (n-1)+1$ $=n$ เกิดข้อขัดแย้ง โจทย์สวยดีครับ |
#3
|
||||
|
||||
เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเฉพาะเห็นได้ชัดว่าสอดคล้องกับสมการ
เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันแยกคูณ สมมติ $n$ เป็นจำนวนประกอบที่น้อยที่สุดซึ่ง $\sigma (n) + \phi (n) \ge n \tau (n)$ ให้ $n=ab$ โดยที่ $(a,b)=1,a,b>1$ จะได้ว่า $a,b$ เป็นจำนวนประกอบที่น้อยกว่า $n$ ไม่ก็เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ $\sigma (a) \sigma (b) + \phi (a) \phi (b) < (\sigma (a) + \phi (a))(\sigma (b) + \phi (b)) \le a \tau (a) \cdot b \tau (b)$ $\sigma (n) + \phi (n) < n \tau (n)$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง $\therefore \sigma (n) + \phi (n) < n \tau (n)$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
|
|