#1
|
||||
|
||||
Qualify Exam
อยากให้หัวข้อนี้สำหรับข้อสอบ qualify จากหลายๆมหาลัยครับ ใครมีความเห็นที่อยากจะแลกเปลี่ยนขอเชิญ post ได้ครับ
|
#2
|
||||
|
||||
1. (PSU Qualify Exam 2001) จงแสดงว่าถ้า \( f \) เป็น entire function ซึ่ง \( \text{Re}\;\!f(z)\leq M<\infty \) สำหรับทุก \( z\in\mathbb{C} \) แล้ว \( f\) ต้องเป็นฟังก์ชันค่าคงตัว
|
#3
|
|||
|
|||
ตอบข้อ 1
ให้ g(z) = ef(z) จะได้ว่า g(z) เป็น entire function และ |g(z)|=eRe f(z) < eM โดย Liouville Theorem จะได้ว่า g(z)เป็นฟังก์ชันคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น f(z) เป็นฟังก์ชันคงตัวด้วยโดยการเลือก branch ของ logarithm ที่เหมาะสม
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
|||
|
|||
2. (UMCP August 2003) จงหาฟังก์ชันพหุนาม P ทั้งหมดซึ่งลำดับของการทำซ้ำ
\( P^{n} = PoPo \dots oP\) converge unifomly บน compact subsets ของ \( \mathbb{C} \)
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
||||
|
||||
ผมมองอย่างนี้ครับ image ของ \( f \) อยู่ภายในบริเวณ \( U=\{z:\text{Re}\;\!z\leq M\} \) ซึ่ง simply connected และไม่เท่ากับ \(\mathbb{C}\) ดังนั้นจะมี linear map \( \phi:U\to D \) โดย \( D \) คือ unit disc
ดังนั้น \( \phi\circ f:\mathbb{C}\to D \) โดย Louville's Theorem \( \phi\circ f \) ต้องเป็นค่าคงตัว ดังนั้น \( f \) ต้องเป็นฟังก์ชันค่าคงตัว 10 มกราคม 2005 02:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ aaaa |
#6
|
||||
|
||||
3. (UIUC 2004 Comprehensive Exam) ให้ \( \Omega=\{z:0<|z|<\infty\} \) จงหา analytic function \( f \) ทั้งหมดบน \( \Omega \) ซึ่ง
\[ |f(z)|<\frac{1}{\sqrt{|z|}}+\sqrt{|z|} \] ทุก \( z\in\Omega \) 10 มกราคม 2005 04:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ aaaa |
#7
|
|||
|
|||
เหนือชั้นจริงๆครับคุณ aaaa ข้อ 1 นี่ทำได้หลายวิธีครับ อาจารย์ผมเคยสร้างฟังก์ชันประหลาดให้ดูเหมือนกันครับ แต่ผมจำไม่ได้แล้วว่าสร้างยังไง ที่จำได้ขึ้นใจคือสร้างจาก exponential นี่แหละครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
|||
|
|||
4. (UMCP August 2002) ให้ P(z) เป็นพหุนามที่มีกำลังมากกว่า 1 โดยที่มีหนึ่งราก (order 1) อยู่นอกวงกลมหนึ่งหน่วย และที่เหลืออยู่ข้างในวงกลมหนึ่งหน่วยทั้งหมด จงแสดงว่า
\[ \int_{|z|=1} \frac{dz}{P(z)} \neq 0 \]
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
||||
|
||||
เฉลยข้อ 2.
ก่อนอื่นเราจะแสดงว่า \( \text{deg}\;\!P(z)<2 \) สมมติว่า \( \text{deg}\;\!P(z)\geq2 \) ดังนั้นมี \( R>1 \) ซึ่ง \[ |P(z)|>R,\quad|P'(z)|>R \] ทุก \( |z|>R \) จากกฏลูกโซ่ได้ว่า \( |(P^{(n)})'(z)|>R^n\to\infty \) เมื่อ \( |z|>R \) พิจารณากรณี \( \text{deg}\;\!P=1 \) ตรวจสอบได้ไม่ยากว่า \( P(z)=z \) หรือ \( P(z)=cz+a \) โดย \( |c|<1 \) 10 มกราคม 2005 05:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ aaaa |
#10
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ ข้อ 2 ผมติดอยู่นิดหน่อยน่ะครับตรงที่แสดงว่า deg P < 2 แต่ตอนนี้กระจ่างแล้วครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
||||
|
||||
เฉลยข้อ 4.
ให้ \( z=\phi(w)=(w+z_0)/(1-\bar{z_0}w)) \) โดย \( z_0 \) เป็น simple root ของ \( P(z) \) ที่อยู่ภายนอกวงกลม ดังนั้น \[ \int_{|z|=1}\frac{dz}{P(z)}=\int_{|w|=1}\frac{2dw}{(1-\bar{z}_0w)^2P(\phi(w))} \] ซึ่ง 0 เป็นsimple root ของ \( P(\phi(w)) \) โดยไม่มีรากอื่นๆภายในวงกลม \(|w|=1 \) และ \( \displaystyle\lim_{w\to1/\bar{z}_0}P(\phi(w))\neq0 \) ดังนั้นอินทิกรัลไม่เท่ากับศูนย์ |
#12
|
|||
|
|||
คุณ aaaa ครับ ข้อ 2 นี่ P(z) = az+b , |a| < 1 น่าจะได้ด้วยนะครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#13
|
||||
|
||||
อ่าจริงด้วยครับ ขอบคุณครับ
|
#14
|
|||
|
|||
ข้อ 3 f(z) เป็น constant function ครับ
โดยการพิจารณาสัมประสิทธิ์จากการกระจาย Laurent series ของ f(z) จะได้ว่า \( \large{a_{n} = 0} \) ทุกค่า n>0 จากนั้นก็พิจารณา \( \large{f(\frac{1}{z})} \) ต่อ จะได้ว่า \( \large{a_{n} = 0} \) ทุกค่า n<0
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 10 มกราคม 2005 05:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#15
|
|||
|
|||
5. (UMCP Jan 2002) จงหาค่าของ
\[ \large{ \int_{- \pi}^{\pi} \huge{ ( } \frac{\sin{nx}}{\sin{x}} \huge{ ) }^{2} dx } \] n=1,2,...
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 10 มกราคม 2005 05:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Real Analysis Exam | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 04 พฤษภาคม 2005 04:52 |
|
|