|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์ลำดับ แปลกๆ(รึเปล่า)
จงหาค่าของ
1. $\frac{1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+...}{1+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}+...}$ 2. $\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+...+(\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+...+\frac{99}{100} )$ 3.$T_{n} = 1+2+3+...+n$ และ$ P_{n} = \frac{T_{2}T_{3}T_{4}...T_{n}}{(T_{2}-1)(T_{3}-1)(T_{4}-1)...(T_{n}-1)}$ สำหรับ n=2 3 4 ... จงหาลิมิตของลำดับ $P_{n}$นี้ ขอขอบคุณทุกท่านที่ช่วยคิดครับ 04 มิถุนายน 2008 21:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ yahazzzz เหตุผล: พิมผิด |
#2
|
||||
|
||||
น่าจะเริ่มที่ $T_{2}$ นะครับไม่งั้นส่วนเป็น 0
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#3
|
|||
|
|||
ขอบคุณที่ช่วยเตือนคับ แก้แล้ว
|
#4
|
|||
|
|||
ใครก็ได้เเสดงวิธีคิดข้อเเรกหน่อยดิ
|
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$T=\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots$ $~~=\dfrac{1}{2^3}(1+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\cdots)$ $~~=\dfrac{S}{8}$ $U=1+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{5^3}+\cdots$ $~~=S-T$ $~~=\dfrac{7S}{8}$ ดังนั้น $\dfrac{1-\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}-\dfrac{1}{4^3}+\dfrac{1}{5^3}+...}{1+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{5^3}+\dfrac{1}{7^3}+\dfrac{1}{9^3}+...} =\dfrac{U-T}{U}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{7S/8-S/8}{7S/8}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{6}{7}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
2. ให้ $T_{n}=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
ได้ว่าผลบวกเท่ากับ $\displaystyle\sum_{n = 2}^{100}\sum_{i = 1}^{n-1}\frac{i}{n}=\sum_{n = 2}^{100}\frac{T_{n-1}}{n}$ $\displaystyle=\sum_{n = 2}^{100}\frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n}=\sum_{n = 2}^{100}\frac{n-1}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n = 1}^{99}n=2475$ 3.$\displaystyle\prod_{n = 2}^{\infty}\frac{T_{n}}{T_{n}-1}=\displaystyle\prod_{n = 2}^{\infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\frac{(n-1)(n+2)}{2}}=\displaystyle\prod_{n = 2}^{\infty}\frac{n(n+1)}{(n-1)(n+2)}$ $\displaystyle =\frac{2\times 3\times 3\times 4\times\cdots}{1\times 4\times 2\times 5\times 3\times 6\times\cdots}$ $\displaystyle =\frac{(2)(3^2)(4^2)\cdots}{(2)(3)(4^2)(5^2)\cdots}=3$ ไม่แน่ใจข้อ 3 นะครับ |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
|
|