#1
|
||||
|
||||
MEMO 2007
โจทย์ MEMO
Let $a,b,c,d$ be positive real numbers with $a + b + c + d = 4$. Prove that $a^{2}bc + b^{2}cd + c^{2}da + d^{2}ab\leq 4.$ |
#2
|
||||
|
||||
MEMO นี่คือโจทย์อะไรหรอครับ
|
#3
|
||||
|
||||
MEMO=Middle European Mathematical Olympiad 2007 ครับ
|
#4
|
||||
|
||||
ข้อนี้ผมพยายามมานานมากแล้วแต่ก็ไม่ได้ รบกวน hint ด้วยครับ
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ |
#6
|
||||
|
||||
แต่ถ้าเป็นสี่ตัวแปร ที่เป็น permutation ของมันจะทำยังไงอะครับ
เพราะมันไม่ได้ symmetry ซะหน่อย? |
#7
|
||||
|
||||
ให้ {$p,q,r,s$}={$a,b,c,d$} และ $p \geq q \geq r \geq s$ โดย rearrangement จะได้ว่า
$L.H.S. = a(abc)+b(bcd)+c(cda)+d(dab) \leq p(pqr)+q(pqs)+r(prs)+s(qrs)=(pq+rs)(pr+qs)$ $\leq (\frac{pq+rs+pr+qs}{2})^{2}=\frac{1}{4}((p+s)(q+r))^{2}$ $\leq \frac{1}{4}((\frac{p+q+r+s}{2})^{2})^{2}=4$ |
#8
|
||||
|
||||
โอ้มีวิธีนี้ด้วยหรอครับ
ทำไมที่ผมเรียนมีแต่บอกว่า "ข้อนี้ไม่สมมาตรนะ คุณไม่สามารถกำหนดลำดับของตัวแปรได้ "- -" แต่พึ่งทราบว่ามีวิธีนี้อยู่นะครับเนี่ย คุณ dektep ช่วยอธิบายหน่อยสิครับว่า กำหนดแบบนี้ แตกต่าง/เหมือนกับ การกำหนด $$a\geq b\geq c\geq d$$ ยังไงอะครับ |
#9
|
||||
|
||||
ต่างครับ เพราะว่ากรณี $a \geq b \geq c \geq d$ ไม่เหมือนกับกรณี $a \geq c \geq d \geq b,a \geq b \geq d \geq c,...$
แต่ถ้าพิจารณา $p \geq q \geq r \geq s$ เมื่อ {$p,q,r,s$}={$a,b,c,d$} แล้ว ไม่ว่าค่าของ $a,b,c,d$ จะเรียงลำดับอย่างไรแล้ว $pqr \geq pqs \geq prs \geq qrs$ $\therefore p(pqr)+q(pqs)+r(prs)+s(qrs)$ จะมีค่ามากกว่าทุก ๆ การเรียงสลับเปลี่ยน $(a,b,c,d)$ ของ $a(abc)+b(bcd)+c(cda)+d(dab)$ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ผลผู้แทนประเทศปี 2007 ครับ | kanakon | ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย | 10 | 23 เมษายน 2008 23:48 |
ผลการแข่งขัน HKEMIC + AITMO 2007 | gon | ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย | 3 | 09 สิงหาคม 2007 23:13 |
ผลการแข่งขัน IMO 2007 : ทีมไทย (1,3,2) | gon | ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย | 5 | 06 สิงหาคม 2007 11:31 |
ผลการแข่งขัน WYMIC 2007 | gon | ข่าวคราวแวดวง ม.ต้น | 0 | 30 กรกฎาคม 2007 19:49 |
APMO 2007 | nooonuii | อสมการ | 8 | 30 เมษายน 2007 20:20 |
|
|