จำนวนจริงงงง

[PerSEiiZ]

ถ้า x เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 1 และทำให้ $\sqrt{x}$ + $\frac{1}{\sqrt{x}}$ และ $\sqrt[4]{x}$ + $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ เป็นจำนวนเต็ม
จงหาค่า x + $\frac{1}{x}$ ที่น้อยที่สุด

[lek2554]

$a>0\rightarrow a+\frac{1}{a} \geqslant 2$

[banker]

งงเหมือนกัน

ให้ $\sqrt[4]{x}$ + $\frac{1}{\sqrt[4]{x}} = m \ $เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม

$ \sqrt{x} + 2 + \frac{1}{\sqrt{x} } = m^2 $

$ \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} } = m^2 -2 $

$x +2 + \frac{1}{x} = m^4 - 2m^2 +4$

$x + \frac{1}{x} = m^4 - 2m^2 +2$

จะเห็นได้ว่า ฝั่งขวา เป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุดเมื่อ m = 1


ดังนั้น $x + \frac{1}{x} =1 \ $ น้อยที่สุด


มั่วๆแบบนี้แหละ

[lek2554]

ท่าน สว. ครับ

$m=1\rightarrow \sqrt{x} +\frac{1}{\sqrt{x} } =?$

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PerSEiiZ

ถ้า x เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 1 และทำให้ $\sqrt{x}$ + $\frac{1}{\sqrt{x}}$ และ $\sqrt[4]{x}$ + $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ เป็นจำนวนเต็ม
จงหาค่า x + $\frac{1}{x}$ ที่น้อยที่สุด

เนื่องจาก $a+\frac{1}{a} \geqslant 2 $ เสมอ

ดังนั้น

$\sqrt[4]{x}$ + $\frac{1}{\sqrt[4]{x}} \geqslant 2 $

เนื่องจาก x ไม่ใช่ 1 ดังนั้น

$\sqrt[4]{x}$ + $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ น้อยสุดเท่ากับ 3

$\sqrt[4]{x}$ + $\frac{1}{\sqrt[4]{x}} =3 $
.
.
.
.
.
.

$x+\frac{1}{x} = 47$

[artty60]

จากโจทย์ $x\in{R} $ และ ต้องไม่เป็นลบ

ให้$ \sqrt[4]{x}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}= a$ ($a$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก)

ดังนั้น $\sqrt{x} +\frac{1}{\sqrt{x}}= a^2-2$ ( $a^2-2$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกด้วย)

เนื่องจาก$a^2-2\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 2$ (เพราะ $a$ เป็นจำนวนเต็ม)

ดังนั้น$x+\frac{1}{x}=(a^2-2)^2-2$

เพราะฉะนั้น$x+\frac{1}{x}\Rightarrow \geqslant 2$

คำตอบข้อนี้จึงเป็น 2 ครับน้อยสุด

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

จากโจทย์ $x\in{R} $ และ ต้องไม่เป็นลบ

ให้$ \sqrt[4]{x}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}= a$ ($a$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก)

ดังนั้น $\sqrt{x} +\frac{1}{\sqrt{x}}= a^2-2$ ( $a^2-2$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกด้วย)

เนื่องจาก$a^2-2\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 2$ (เพราะ $a$ เป็นจำนวนเต็ม)

ดังนั้น$x+\frac{1}{x}=(a^2-2)^2-2$

เพราะฉะนั้น$x+\frac{1}{x}\Rightarrow \geqslant 2$

คำตอบข้อนี้จึงเป็น 2 ครับน้อยสุด

เอ๊อะ ... อยากรู้ค่าที่ทำให้ $x+\frac{1}{x} =2$ จัง โดยที่ $x \not= 1$

[artty60]

ขออภัยครับ ลืมเงื่อนไขโจทย์ซะได้