|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 22: Infinite Series
ให้ $ \{ a_n \} $ เป็นลำดับที่มี $ a_1=1, a_2=4 $ และ $ a_n = 4a_{n-1} - a_{n-2} $ เมื่อ $n \ge 3$
โดยอาศัยเทคนิคในการแก้ difference equation เราจะพบว่า สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ $$ a_n = \frac{1}{2 \sqrt 3} \left( (2 + \sqrt 3)^n - (2 - \sqrt 3)^n \right) $$ จงหาค่าของ $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{ a_{ 2^n} } $$ |
#2
|
|||
|
|||
สังเกตว่า $ a_n = \frac{1}{2 \sqrt 3} \left( x^n - x^{-n} \right) =\frac{1}{2 \sqrt 3} \left( \frac{x^{2n}-1}{x^n} \right)$ เมื่อ $ x= 2+\sqrt{3} $
ดังนั้น $$ \begin{array}{rcl} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{ a_{ 2^n} } & = & 2\sqrt{3}\left( \frac{x}{x^2-1}+\frac{x^2}{x^4-1}+\frac{x^4}{x^8-1}+\cdots \right ) \\ &=& 2\sqrt{3}\left( \frac{x+1-1}{x^2-1}+\frac{x^2+1-1}{x^4-1}+\frac{x^4+1-1}{x^8-1}+\cdots \right ) \\ &=& 2\sqrt{3}\left(( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^2-1})+(\frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x^4-1})+( \frac{1}{x^4-1}-\frac{1}{x^8-1})+\cdots \right ) \\&=& 2\sqrt{3} \left (\frac{1}{x-1} \right ) \\&=& 2\sqrt{3} \left (\frac{1}{\sqrt{3}+1} \right ) \\ &=& 3- \sqrt{3} \end{array} $$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#3
|
|||
|
|||
ในเมื่อข้อนี้คุณ passer-by ยอมออกโรง มีเรอะจะเหลือ
จากเฉลยของคุณ passer-by จะเห็นว่า ข้อนี้ใช้เทคนิคพื้นๆอย่างที่ผมบอก จุดสำคัญมีอยู่สองจุดคือ อย่างแรกต้องมองออกว่าโจทย์ข้อนี้มี hint อยู่ในตัว นั่นคือผมบอก explicit formula ของ $a_n$ มาให้ แสดงว่าต้องเอาอันนี้มาใช้ (ที่ผมต้องบอกสูตรของ $a_n$ เพราะถ้าให้หาเอง มันจะเกินหลักสูตรไปไกลครับ ถ้าไม่จำเป็นต้องบอกล่ะก็ ข้อนี้จะยากขึ้นอีกเยอะทีเดียว) อีกจุดนึงคือ ต้องทราบวิธีการหาผลบวกของ $$ \sum_{n=0}^\infty \frac { x^{2^n} } { x^{2^{n+1}} -1} $$ ซึ่งจะพบเห็นได้บ่อยๆในโจทย์แข่งขัน คุณ passer-by รับไปอีก 5 คะแนน สำหรับคำตอบนี้ครับ ผมสร้างโจทย์ข้อนี้โดยเอาแนวคิดมาจากอนุกรม $$ \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{F_{2^n}} $$ เมื่อ $F_k$ แทน Fibonacci number ตัวที่ $k$ อยากทราบว่าอนุกรมตัวหลังนี้มีชื่อว่าอะไร (1 คะแนน) และชื่อนี้มีความเป็นมาที่น่าสนใจอย่างไรครับ (2 คะแนน) |
#4
|
||||
|
||||
เอาเท่าที่ผมหาเจอนะครับ น่าจะครบนะครับ ^^
อนุกรม $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{F_{2^n}}=\frac{7-\sqrt{5}}{2}$$คือ Millin Series พบโดย D.A.Miller ซึ่งอ้างจากที่นี่เจ้าตัวบอกไว้แบบนี้ครับ อ้างอิง:
Edit: แก้คำผิดครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 02 พฤศจิกายน 2006 04:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#5
|
|||
|
|||
คุณ nongtum รวดเร็วปานกามนิตหนุ่มจริงๆ ข้อมูลที่ให้มาถูกต้องครบถ้วนแล้วครับ โดยเฉพาะข้อมูลจาก paper ที่คุณ nongtum uploaded ไว้ให้ อันนั้นใหม่สำหรับผมครับ น่าสนใจจริงๆ เท่าที่อ่านดูคร่าวๆ ผมว่าสาเหตุที่ผลบวกอันที่ Lucas คิดได้ ไม่เป็นที่รู้จักกัน น่าจะเป็นเพราะไม่มี explicit example ประกอบละมั้ง ถ้ามีตัวอย่างสวยๆอย่าง Millin series น่าจะดังไปนานแล้วล่ะ
แน่นอนคุณ nongtum รับไปอีก 3 คะแนนครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Sequences and Series Marathon | Timestopper_STG | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 161 | 01 พฤษภาคม 2015 16:45 |
Alternating series (and Abel's theorem) | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 17 กรกฎาคม 2012 21:05 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 3: Infinite Products | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 10 | 16 มกราคม 2006 15:05 |
Series | intarapaiboon | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 02 ตุลาคม 2005 10:58 |
|
|