|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Challenging Problems from a Book
1. จงหาพหุนาม \( P(x) \) ทั้งหมดซึ่ง \( [P(x)]^5-x \) ถูกหารลงตัวด้วย \( (x-1)(x-2)(x-3) \)
2. จงหาจำนวนเต็ม \( a \) ทั้งหมดซึ่ง \( x^2-x+a \) หาร \( x^{13}+x+90 \) ลงตัว 3. จงหาจำนวนนับ \( n \) ทั้งหมดซึ่ง \( 4^n+n^4\) เป็นจำนวนเฉพาะ 4. จงแสดงว่าสำหรับจำนวนนับ \( n>1 \) ใดๆ สมการ \[ 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=n^2 \] มีคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะที่มีค่าระหว่าง 1 และ 2 เสมอ 5. จงหาจำนวนจริง \( p \) ทั้งหมด ซึ่งระบบสมการ \( x+y+z=2,\,xy+yz+zx=1,xyz=p \) มีคำตอบเป็นจำนวนจริง 6. จงพิสูจน์ว่ารากที่เป็นจำนวนจริงบวกของสมการ \( x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)=1 \) มีค่าน้อยกว่า \( 1/n! \) 7. จงแสดงว่าสมการ \[ 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!} \] ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง 8. ให้ \( P(x) \) เป็นพหุนามสปสค่าจริง ที่มี degree เป็นเลขคู่ \( n \) และ \( P(x)\geq0 \) สำหรับทุกจำนวนจริง \( x \) จงพิสูจน์ว่า \[ P(x)+P'(x)+\cdots+P^{(n)}(x)\geq0 \] สำหรับทุก \( x \) หมายเหตุ ข้อ 7 แก้ไขจากเดิมที่เป็น \( n \) ไปเป็น \( 2n \) 02 กุมภาพันธ์ 2005 02:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ aaaa |
#2
|
|||
|
|||
ข้อ 6 ถ้า \( x \geq \frac{1}{n!} \)
จะได้ว่า \( x(x+1)...(x+n) \geq \frac{1}{n!} (1+\frac{1}{n!})(2+\frac{1}{n!})...(n+\frac{1}{n!}) > 1 \)
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 01 กุมภาพันธ์ 2005 11:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#4
|
|||
|
|||
ข้อ 3 ไม่มีคำตอบครับ
ข้อ 4 มี \( x=1+\frac{1}{n} \) เป็นคำตอบหนึ่งเสมอ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
||||
|
||||
ข้อ 7 ขออภัยอย่างยิ่งครับผม ลอกเพลินไปหน่อย \( n \) เป็นเลขคู่ครับ
ข้อ 3 มีคำตอบครับ อย่างน้อยก็ \( n=1 \) |
#6
|
||||
|
||||
ข้อ 1. นี่มีเฉพาะ P(X) = 0 อย่างเดียวหรือเปล่าครับ.
|
#7
|
||||
|
||||
ข้อ 1 มีคำตอบอื่นครับที่ไม่ใช่ \( P(x)=0 \)
|
#8
|
||||
|
||||
\( อืม. รู้สึกว่าผมจะคิดลึกเกินไป ทำให้เกิดอาการมั่ว เอาเป็นแบบง่ายกว่านี้ก็แล้วกันนะครับ. สมมติให้\)
\( P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 \, แต่\, P(1) = 1, P(2) = \sqrt[5]{2}, P(3) = \sqrt[5]{3}\) \(เมื่อแทนค่าลงไปใน \, P(x) \, จากนั้นก็แก้สมการหาค่า \, a_0, a_1, a_2 \, ก็จะได้ตามที่ต้องการ \)
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 03 กุมภาพันธ์ 2005 15:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#9
|
||||
|
||||
1. จากโจทย์ \([P(x)]^5 -x\) ถูกหารลงตัวด้วย \((x-1)(x-2)(x-3)\) ซึ่งมีดีกรี 3 แสดงว่า \([P(x)]^5 -x\) มีดีกรีมากกว่าเท่ากับ 3
ผมคิดว่าน่าจะมีเงื่อนไขบางอย่างที่จำกัดได้ว่า \(P(x)\) มีดีกรีเท่าไหร่กันแน่แล้วจึงแก้สมการหาสัมประสิทธิ์ทุกตัวได้
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $ |
#10
|
|||
|
|||
ข้อ 1) เนื่องจากเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอคือ P(1) = 1, P(2) = 21/5และ P(3) = 31/5 และพหุนามดีกรีต่ำสุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ได้คือ พหุนามที่มีดีกรี 2 ก็หาพหุนามดีกรี 2 ที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าวออกมา สมมติว่าได้เป็น Q(x) จะเป็นคำตอบเฉพาะอันหนึ่ง
สำหรับคำตอบทั่วไปก็อยู่ในรูป Q(x)R(x) โดย R(x) คือพหุนามทั่วไปที่ไม่ใช่ศูนย์ |
#11
|
|||
|
|||
เอ...ผมคิดว่าโดยทั่วไปแล้ว Q(x)R(x) ไม่ใช่คำตอบของโจทย์นะครับ นอกเสียจากว่า
R(1) = R(2) = R(3) = 1 แต่นี่ก็ยังไม่ใช่คำตอบทั้งหมด ผมคิดว่าคำตอบทั้งหมดคือ \[P(x)=Q(x)R(x)+S(x)\] โดยที่ \[R(1)+S(1)=1\] \[\sqrt[5]2R(2)+S(2)=\sqrt[5]2\] \[\sqrt[5]3R(3)+S(3)=\sqrt[5]3\] แต่เนื่องจากคำตอบของผมมันค่อนข้างจะยุ่งยาก คิดว่าถ้าไม่ผิดก็คงไม่ใช่อันที่อยู่ในใจ ของคุณ aaaa หรอกมั้งครับ 08 กุมภาพันธ์ 2005 20:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#12
|
|||
|
|||
กำลังจะมาบอกเหมือนกันว่า R(x) ไม่ใช่ค่านั้น ผมหารูปแบบของคำตอบทั่วไปได้เป็น
Q(x)[1 + (x-1)(x-2)(x-3)R(x)] โดยที่ R(x) คือพหุนามทั่วไปที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่ก็ไม่แน่ใจว่า ได้คำตอบครบหรือยัง เดี๋ยวลองตรวจสอบอีกที |
#13
|
|||
|
|||
ใช่แล้วครับ ในกรณีที่ Q(x) หาร P(x) ได้ลงตัว P(x) ก็จะต้องอยู่ในรูป
Q(x)(1 + (x - 1)(x - 2)(x - 3)R(x)) (โดยที่ R(x) อาจเป็น zero polynomial ก็ได้) แต่ผมคิดว่า P(x) ไม่จำเป็นต้องหารด้วย Q(x) ลงตัวก็ได้ด้วยมั้งครับ |
#14
|
|||
|
|||
ใช่ครับ
นอกจากนี้ คำตอบมันยังไม่ครอบคลุม สังเกตได้ง่าย เพราะรูปแบบนี้มันจะได้พหุนามดีกรี 3 แล้วก็กระโดดไปที่ 5 เลย จึงยังขาดรูปแบบของ พหุนามดีกรี 4 |
#15
|
|||
|
|||
ผมว่ารูปแบบง่ายๆ แบบนี้ก็น่าจะครบแล้วนะครับ
Q(x) + (x-1)(x-2)(x-3)R(x) โดยที่ R(x) เป็นพหุนามใดๆ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Function problems | Far | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 4 | 23 กรกฎาคม 2009 05:09 |
e-book ภาษาไทย | tani | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 9 | 13 กรกฎาคม 2007 11:20 |
Complex A. Problems | Mastermander | Calculus and Analysis | 6 | 26 ตุลาคม 2006 13:23 |
อยากทราบเรื่องthree famous problems of antiquity | nongteam | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 03 กันยายน 2006 04:41 |
Advanced Linear Algebra Problems | nooonuii | พีชคณิต | 0 | 20 พฤษภาคม 2005 03:18 |
|
|