summation k^4

[polarmonkey]

หา general form ของ summation K^4 อ่ะคับ มีวิธีหาอย่างไงอ่ะ ขอบคุณครับ

[gon]

เนื่องจาก $i^4 = i(i+1)(i+2)(i+3)-6i(i+1)(i+2)+7i(i+1)-i$

ดังนั้น $\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5} - \frac{6n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}+\frac{7n(n+1)(n+2)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$

[Real Matrik]

วิธีการหาค่า $1+2+3+...+n$ ชมเพื่อนำไปใช้หาค่าของ $1^4+2^4+3^4+...+n^4$ ครับ

ให้ $f(n)=n^2$ จะได้ว่า $f(n+1)-f(n)=2n+1$ และ
$$[f(n+1)-f(n)]+[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+...+[f(2)-f(1)]$$
$$=2[n+(n-1)+(n-2)+...+1]+(1+1+1+...+1)$$
$$f(n+1)-f(1)=2(1+2+3+...+n)+n$$
$$1+2+3+...+n=\frac{1}{2}[f(n+1)-f(1)-n]=\frac{n(n+1)}{2}$$

ปล. ในทำนองเดียวกันจะได้ $\sum_{i = 1}^{n}i^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 $

[polarmonkey]

โห ขอบคุณมากครับ

[polarmonkey]

เออ แล้วจะหา i^4 อย่างไงอ่ะคับ

[Real Matrik]

ก็เลียนแบบการหา $\sum i^2$ นั่นแหละครับ
กำหนดให้ $f(n)=n^5$ จะได้ $f(n+1)-f(n)=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1$ ลองไปต่อดูครับ

[nooonuii]

#3 เรียนเทคนิคนี้มาจากไหนหรือครับ

อยากทราบข้อมูลนิดหน่อย

ในหนังสือเรียนมีมั้ยครับ

[Real Matrik]

ตำรา สอวน. ครับ Download !!

อีกวิธีนึงก็ กำหนดให้ $f(n)=\sum^{n}_{k=1}(i^4)$ จะได้ว่า $f(n)+(n+1)^4=f(n+1)$
เนื่องจาก $f(n)$ จะมีรูปแบบเดียว เราก็ลอง(ลักไก่) ในกรณี $f(n)$ เป็นพหุนามดีกรี $5$ สัมประสิทธิ์นำเป็น $\frac{1}{5}$ ครับ

[polarmonkey]

โห ขอบคุณมากๆครับ