|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ใครชอบ matrix เชิญทางนี้
บทนิยาม P เป็นเมทริกซ์นิจพล (idempotent matrix) ถ้า P = P2
ให้ P1 และ P2 เป็นเมทริกซ์นิจพล และ c1, c2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่ไม่เป็น 0 จงพิสูจน์ว่า P1 - P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานก็ต่อเมื่อ c1P1 + c2P2 และ I - P1P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง 04 ตุลาคม 2004 17:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ alongkorn |
#2
|
||||
|
||||
เมตริกซ์นิจพลก็เพิ่งได้ยินเป็นครั้งแรกนี่ล่ะครับ. ไปลองเปิดดูพจานุกรมคณิตศาสตร์ก็แปลเป็นไทยเป็นอย่างนั้นจริง ๆ
ผมคิดไม่ออกครับ. ลองเปลี่ยนข้อความเก่าเป็นข้อความใหม่ที่สมมูลกันคือ P1 - P2 = เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ก็ต่อเมื่อ c1P1 - c2P2 เป็นเมทริกซ์เอกฐาน หรือ I - P1P2 เป็นเมตริกซ์เอกฐาน น่าจะเปลี่ยนไม่ผิดนะ. จากนั้นพอจะลองแบ่งกรณี ก็ไม่รู้จะเริ่มเล่นจากตรงไหนก่อน น่าจะมีลูกเล่นแบบว่าเอาอะไรไปคูณ แล้วแยกตัวประกอยอะไรหรือเปล่านะ ??? |
#3
|
|||
|
|||
พิสูจน์ตรง ๆ เลยครับ ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนอะไร hint เพิ่มนิดนึงนะครับ
บทนิยาม ปริภูมิสู่ศูนย์ (Null space) ของ A เขียนแทนด้วย N(A) คือ {x | Ax = 0} บทนิยาม A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานก็ต่อเมื่อ N(A) = {0} การพิสูจน์ขาไป แบ่งการพิสูจน์เป็น 2 ส่วน คือ 1) ถ้า P1 - P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้ว I - P1P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน 2) ถ้า P1 - P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้ว c1P1 + c2P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน การพิสูจน์ 1) ให้ x e N(I - P1P2) ต้องการพิสูจน์ว่า x = 0 เท่านั้น การพิสูจน์ 2) ก็แนวคิดเดียวกับ 1) ใช้การแยกตัวประกอบแบบนี้ครับ (P1 - P2)2 = P1 - P1P2 - P2P1 + P2
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง 15 กันยายน 2004 21:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ alongkorn |
#4
|
|||
|
|||
ขอบคุณ อ. alongkorn มากๆเลยครับที่เอาโจทย์ดีๆอย่างนี้มาให้คิดกัน
เป็นที่น่าสังเกตอย่างหนึ่งว่าข้อความขากลับเป็นส่วนหนึ่งของข้อความขาไปอยู่แล้ว ดังนั้นเราพิสูจน์แค่ขาไปอย่างเดียวก็พอ ซึ่งวิธีพิสูจน์ที่ อ. alongkorn แนะนำมาก็ เป็นวิธีที่เป็นขั้นเป็นตอนที่ดีที่สุดแล้วมั้ง ซึ่งผมหวังว่าคงจะมีใครสักคนมาแสดงให้ดู แต่ตอนนี้ผมขอแสดงการพิสูจน์แบบรวบยอดให้ดูก่อนดังนี้ครับ จาก (P1 - P2)2 = (I - P1P2)(P1 + P2 - P2P1) = (c1P1 + c2P2)((I - P1)/c2 + (I - P2)/c1) จึงเห็นได้ชัดว่าข้อความที่ต้องการพิสูจน์นั้นเป็นจริง (ถ้าใครยังไม่เห็นให้ลองใส่ determinant ลงไป แล้วใช้ความรู้ที่ว่า det(AB) = det(A)det(B) และ det(A) = 0 เมื่อ A เป็น singular matrix และ det(A) น 0 เมื่อ A เป็น invertible matrix) 04 ตุลาคม 2004 19:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#5
|
|||
|
|||
hint ต่อนะครับ
เนื่องจาก x e N(I - P1P2) ดังนั้น x = P1P2x . . . (1) เมื่อนำ P1 คูณทางซ้ายทั้งสองข้างของ (1) จะได้ P1x = P1P1P2x = P1P2x = x . . . (2) นำ P2 คูณทั้ง 2 ข้างของ (2) จะได้ P2P1x = P2x ผมมั่นใจว่ามีคนพิสูจน์ต่อได้อย่างแน่นอนครับ
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง 16 กันยายน 2004 16:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ alongkorn |
#6
|
|||
|
|||
จอึ๋ย...ผมพิสูจน์ผิดไม่เห็นมีใครท้วงเลย
เดิมผมคิดว่าการพิสูจน์ขากลับเป็นส่วนหนึ่งของขาไป โดยการแทน P1 ด้วย d1Q1 แทน P2 ด้วย d2Q2 แทน c1 ด้วย 1/d1 และ แทน c2 ด้วย 1/d2 ลืมคิดไปว่า ถ้า P เป็น idempotent matrix แล้ว cP ไม่จำเป็นต้องเป็น idempotent matrix ด้วยนี่นา ถ้าใครหา "one-line proof" แบบกรณีขาไปได้ช่วยมาบอกด้วยนะครับ ผมคงหมดแรงคิดแล้วล่ะตอนนี้ |
#7
|
||||
|
||||
ไม่มีคนท้วงคุณ Warut เพราะคงยังไม่มีใครคิดต่อออกกระมังครับ. เมตริกซ์กับผมก็ไม่ถูกโฉลกกันซะด้วย
|
#8
|
|||
|
|||
คงต้องขอร้องให้ อ. alongkorn ช่วยมาแสดงการพิสูจน์ขากลับให้ดูแล้วล่ะครับ
ผมจนด้วยเกล้าแล้ว คิดไม่ออกจริงๆ |
#9
|
|||
|
|||
(a) P1 - P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
(b) c1P1 + c2P2 และ I - P1P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน การพิสูจน์ขาไป ให้ P1 - P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ x e N(c1P1 + c2P2) ดังนั้น c1P1x = -c2P2x .....(1) เมื่อเอา P1 คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของ (1) จะได้ c1P1x = -c2P1P2x .....(2) เมื่อเอา P2 คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของ (1) จะได้ c1P2P1x = -c2P2x .....(3) จาก (1), (2) และ (3) จะได้ c1P1x = -c2P2x = -c2P1P2x = c1P2P1x ส่งผลให้ P1x = P2P1x และ P2x = P1P2x เนื่องจาก P1 - P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ดังนั้นจะมี (P1 - P2)-2 เป็นตัวผกผันการคูณของ (P1 - P2)2 และ (P1 - P2)2 = P1 - P1P2 - P2P1 + P2 = 0 ดังนั้น x = (P1 - P2)-2(P1 - P1P2 - P2P1 + P2)x = 0 ดังนั้น N(c1P1 + c2P2) = {0} ต่อไปจะพิสูจน์ว่า I - P1P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ให้ x e N(I - P1P2) ดังนั้น x = P1P2x .....(4) ถ้าเอา P1 คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของ (4) จะได้ P1x = P1P2x = x .....(5) ถ้าเอา P2 คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของ (5) จะได้ P2P1x = P2x .....(6) จาก (4), (5) และ (6) จะได้ P1x = P1P2x และ P2P1x = P2x ในทำนองเดียวกันจะได้ x = (P1 - P2)-2(P1 - P1P2 - P2P1 + P2) = 0 เพราะฉะนั้น N(I - P1P2) = {0} การพิสูจน์ขากลับ ให้ c1P1 + c2P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานสำหรับทุก c1, c2 e C สมมติ c1 = 1 และ c2 = -1 จะได้ P1 - P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน QED
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง 04 ตุลาคม 2004 17:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ alongkorn |
#10
|
|||
|
|||
นี่เป็นทฤษฎีบทนึงในงานวิจัยเรื่อง Nonsingularity of linear combinations of idempotent matrices โดย Jerzy K. Baksalary และ Oskar Maria Baksalary ชาว Poland สำหรับ full text ของงานวิจัยนี้สามารถ download ได้จาก sciencedirect.com ในวารสาร Linear Algebra and Its Applications เพิ่งจะได้ตีพิมพ์เมื่อ 19 / กพ./ 2004 ที่ผ่านมานี่เอง แสดงว่ายังเป็นเรื่องใหม่อยู่ ใครจะทำ project หรือ Thesis ก็น่าจะลองคิดต่อจาก paper นี้ได้ครับ เพราะไม่ได้ใช้ความรู้อะไรมากมาย
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง |
#11
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากๆครับ อ. alongkorn สำหรับการพิสูจน์และข้อมูลอย่างละเอียด และช่วย
ให้ผมทราบว่าทำไมผมทำไม่ได้ซักที จากการพิสูจน์ขากลับที่อาจารย์แสดงมาทำให้ผมทราบว่าสิ่งที่อาจารย์ต้องการให้พวก เราพิสูจน์จริงๆแล้วคือข้อความต่อไปนี้ครับ ให้ P1, P2 เป็น idempotent matrices จงพิสูจน์ว่า P1 - P2 เป็น invertible matrix ก็ต่อเมื่อ I - P1P2 และ c1P1 + c2P2 เป็น invertible matices สำหรับทุกจำนวน เชิงซ้อน c1, c2 ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งข้อความนี้ไม่สมมูลกับข้อความในโจทย์ ทั้งนี้เป็นเพราะข้อความ "c1, c2 เป็น จำนวนเชิงซ้อนใดๆ ที่ไม่เป็น 0" อยู่คนละที่กัน ความหมายทั้งหมดจึงเปลี่ยนไป สรุปอีกครั้งเป็นข้อความแบบตรรกศาสตร์เพื่อให้เห็นชัดได้ดังนี้ ให้ P1, P2 เป็น idempotent matrices โจทย์บอกให้พิสูจน์ว่า "c1 น 0 "c2 น 0 [{P1 - P2 invertible} ซ {(I - P1P2 invertible) & (c1P1 + c2P2 invertible)}] แต่จริงๆแล้วสิ่งที่ควรจะต้องพิสูจน์คือ {P1 - P2 invertible} ซ {(I - P1P2 invertible) & ("c1 น 0 "c2 น 0 [c1P1 + c2P2 invertible])} เล่นเอาผมหน้ามืดไปหลายตลบเลยครับ 05 ตุลาคม 2004 17:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#12
|
|||
|
|||
ต้องขอโทษจริง ๆ ครับ และขอบคุณมาก ๆ สำหรับคุณ warut ที่ช่วยบอก เป็นความสะเพร่าของผมเองครับ โจทย์ที่ผมให้ไปนั้นถูกต้องแล้วครับ ทีนี้มาดูการพิสูจน์ขากลับ (จริง ๆ)
ให้ c1P1 + c2P2 และ I - P1P2 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน สมมติ x e N(P1 - P2) ดังนั้น P1x = P2x .....(1) เอา P1 คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของ (1) จะได้ P1x = P1P2x .....(2) จาก (1) ดังนั้น P2x = P1P2x .....(3) เอา P2 คูณทั้ง 2 ข้างของ (3) จะได้ P2x = P2P1P2x .....(4) เนื่องจาก (c1P1 + c2P2)(I - P1P2) = c1P1 - c1P1P2 + c2P2 - c2P2P1P2 ดังนั้น x = (I - P1P2)-1(c1P1 + c2P2)-1(c1P1 - c1P1P2 + c2P2 - c2P2P1P2)x = 0 จึงสรุปได้ว่า N(P1 - P2) = {0}
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง 05 ตุลาคม 2004 13:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ alongkorn |
#13
|
|||
|
|||
เอิ๊กๆๆ รู้สึกว่ากระทู้นี้ผมได้ปล่อยไก่ไปหลายเล้าเลย (หวังว่าคงไม่ทำให้ใครติด
เชื้อไข้หวัดนกนะ ) กว่าจะได้รู้ว่าที่ทำไม่ได้ก็เพราะความเขลาของตัวเองล้วนๆ ขอบคุณ อ. alongkorn มากครับสำหรับการพิสูจน์ขากลับของแท้ ซึ่งช่วยให้ผม หา "one-line proof" สำหรับขากลับได้สำเร็จแล้วดังนี้ครับ: (I - P1P2)(c1P1 + c2P2) = (P1 - P2)(c1P1 - c2P2 - c1P2P1) หรือ (c1P1 + c2P2)(I - P1P2) = (c1P1 - c2P2 + c2P2P1)(P1 - P2) 05 ตุลาคม 2004 18:27 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
matrix problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 5 | 14 กรกฎาคม 2008 10:35 |
ปัญหาการพิสูจน์เกี่ยวกับ matrix | warut | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 9 | 29 มีนาคม 2006 03:50 |
ช่วยหน่อยครับ เรื่อง Matrix | Epsilon | พีชคณิต | 11 | 17 ธันวาคม 2005 20:55 |
รบกวนถามเรื่อง matrix หน่อยคับ | prachya | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 15 | 15 สิงหาคม 2005 20:01 |
โจทย์เกี่ยวกับ matrix | warut | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 10 | 25 ธันวาคม 2001 04:38 |
|
|