กรุป วัฏจักร Z(m) + Z(n)

[ครูนะ]

จงพิสูจน์ว่า Z(m) + Z(n) เป็นกรุปวัฏจักร ก็ต่อเมื่อ ห.ร.ม.(m , n) = 1

รบกวนคุณ NOOONUII ด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

จงพิสูจน์ว่า Z(m) + Z(n) เป็นกรุปวัฏจักร ก็ต่อเมื่อ ห.ร.ม.(m , n) = 1

รบกวนคุณ NOOONUII ด้วยครับ

หมายถึง $\mathbb{Z}_m\oplus\mathbb{Z}_n$ ใช่มั้ยครับ

ถ้า $a\in\mathbb{Z}_m,b\in\mathbb{Z}_n$ ลองพิสูจน์ว่า

$|a+b|=[|a|,|b|]=lcm(|a|,|b|)$ ดูสิครับ

$|a|=$ order of $a$ ครับ

[ครูนะ]

อย่างนี้เอง คือใช้พิสูจน์แบบข้อขัดแย้ง โดยสมมุติให้เป็น ค.ร.น
ผมจะลองพิสูจน์ดูครับ ขอบคุณมากครับ

[ครูนะ]

ผมพิสูจน์แล้วครับ เห็นได้ชัดว่า อันดับเป็น ค.ร.น. เพราะ
(ห.ร.ม.(m , n))(ค.ร.น.[m , n]) = mn จากโจทย์ ห.ร.ม.(m , n) = 1