|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์อสมการแปลกๆ
1.$ให้ a,b,c,d,e เป็นจำนวนจริง$
$ a+b+c+d+e = 8$ $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 16$ $จงหาค่าสูงสุดของeที่เป็นไปได้$ ปล.ผมหาค่าสูงสุดของ $ a + b + c + d + e = 4\sqrt{5} $แต่ไปต่อมะได้ ช่วยคิดT
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ |
#2
|
||||
|
||||
โดยอสมการโคชี จะได้ว่า \[ (8-e)^2 = (a+b+c+d)^2 \leq 4(a^2+b^2+c^2+d^2)\]
หรือ \[ (8-e)^2 \leq 4(16-e^2)\] หาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $e$ ได้เท่ากับ $\frac{16}{5}$ ครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 29 มีนาคม 2008 21:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แต่ผมว่าเหตุผลไม่น่าจะใช่นะครับ อสมการโชี่ จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $a_i, b_i$ เป็นจำนวนจริงบวก แต่ในที่นี้เป็นจำนวนจริง และจากข้างบน ถ้ายอมให้ใช้ เครื่องหมายอสมการก็ไม่น่าจะใช่นะครับ ควรจะเป็น $(8-e)^2 = (a+b+c+d)^2 \leq 4(a^2+b^2+c^2+d^2)$ ถ้าผมเข้าใจผิดก็รบกวนช่วยอธิบายให้ทีครับ |
#4
|
||||
|
||||
อ้อ ผมพิมพ์ คำสั่ง Latex ผิดครับ
ส่วน อสมการโคชี ไม่มีข้อจำกัดเรื่องเครื่องหมายบวกลบ ครับ ใช้ได้ทุกกรณี โดยทั่วไปผมชอบจำเป็นเวกเตอร์มากกว่า เข้าใจง่ายดี
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#5
|
||||
|
||||
ขอขอบคุณพี่M@gpie และ พี่หยินหยาง ผมเข้าใจแล้วครับ แต่พี่ตอบตรง $ (8-e)^2 น้อยกว่าหรือเท่ากับ 16 - e^2 $ $มันต้องมี 4ตรงหน้าวงเล็บ 16-e^2มะใช่หรอครับ$
งืมๆ ขอต่ออีก 2ข้อละกัน ช่วยกันหน่อยละกันครับ 1. $ให้ x,y เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบใดๆ โดยที่ x+y = 30 จงหาค่าสูงสุดของ x^2y $ 2. $จงหาค่าต่ำสุดของผลบวก x+y+z เมื่อ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ $ $xy z^2=2500$ ช่วยกันหน่อยนะครับ
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ 30 มีนาคม 2008 08:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ jabza เหตุผล: double post |
#6
|
||||
|
||||
ข้อ 1. ผมคิดได้ 4000 ครับ ส่วนข้อ2. โจทย์ผิดหรือป่าวครับ
|
#7
|
|||
|
|||
1. AM - GM ครับ มองให้เป็น $x + x + 2y = 60$
2. ต้องมีเงื่อนไขเพิ่มครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
||||
|
||||
ผมขอโทษโจทย์ข้อ2ตกเงื่อนไข$ xyz^2=2500$ ข้อ1ผมเข้าใจแล้ว.Thank you.
$ข้อ2.ทำได้ ค่าต่ำสุดของ x+y+z =15\sqrt{2} $ ใช้AM - GMอะครับ ไม่รู้ถูกหรือเปล่าช่วยเช็คที
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ 30 มีนาคม 2008 08:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ jabza |
#9
|
|||
|
|||
2. ใช้ AM-GM โดยมองให้เป็น $2(x+y+z)=2x+2y+z+z$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#10
|
||||
|
||||
อ้อ ได้ 20 ต่ำกว่าของผมอีกนะครับ แถมวิธียังออกมาง่ายดายมากๆ
ผิดกับของผม ที่ต้องมั่วไปหลายขั้นตอน แล้วได้ค่า$ x = y = z = 5\sqrt{2}$ Solution $\frac{2x+2y+z+z}{4} \geq \sqrt[4]{4xyz^2} $ $\frac{2x+2y+z+z}{4} \geq 10$ $ x+y+z = 20 $ พี่ทำแบบนี้ใช่ไหมครับ ขออีกข้อนึงละกัน 1. $ จงหาค่าสูงสุดของผลคูณ xy(72-3x-4y) เมื่อ x,y เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ $ ข้อนี้ไม่รู้จะเริ่มต้นยังไงครับ
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ |
#11
|
||||
|
||||
ข้อนี้ใช่ตอบ 1152 หรือเปล่า ครับ
Solution ช่วยตรวจด้วย $ให้ z = 72 - 3x - 4y $ $3x + 4y + z = 72 $ AM GM จะได้ $ \frac{3x+ 4y + z}{3} \geq \sqrt[3]{12xyz}$ $ \therefore 1152 \geq xyz $
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ |
#12
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
วิธีคิดก็คือว่าเราต้องทำให้เกิดตัวเลขขึ้นมาให้ได้ โดยกำจัดตัวแปรทิ้งให้หมด อย่างข้อนี้จะเห็นว่าเข้ารูปแบบของอสมการ AM-GM ซึ่งน่าจะใช้กับตัวแปร $x,y,72-3x-4y$ แต่ถ้าใช้กับสามตัวนี้ตรงๆเรากำจัดตัวแปรไม่ได้ ตัวปัญหามันอยู่ที่ $72-3x-4y$ เราก็ใช้กับชุดนี้แทน $3x,4y,72-3x-4y$ ซึ่งไม่ส่งผลต่อคำตอบ เพราะ $(3x)(4y)(72-3x-4y)=12xy(72-3x-4y)$ ต่างกันกับโจทย์แค่ตัวเลขที่อยู่ในผลคูณซึ่งเราย้ายข้างไปมาได้อยู่แล้ว ข้อควรระวัง : อสมการ AM-GM ใช้ได้กับจำนวนจริงที่ไม่ติดลบเท่านั้น ก่อนใช้งานควรเช็คทุกครั้งว่าตัวแปรที่เราจะนำมาเข้าสูตรอสมการไม่เป็นลบ อย่างข้อนี้ปัญหาจะอยู่ที่ $72-3x-4y$ ซึ่งมีโอกาสติดลบได้ แต่โจทย์ต้องการค่าสูงสุด ถ้า $72-3x-4y<0$ จะทำให้ $xy(72-3x-4y) < 0$ ซึ่งไม่เกิดค่าสูงสุดแน่ๆ เราจึงคิดแค่กรณี $72-3x-4y\geq 0$ ก็พอครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|