|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Binomial Expansion
เผอิญผมได้มีโอกาสเรียนคณิตศาสตร์ โครงการ Gifted คณิตศาสตร์ของภาคเหนืออะครับ (ที่ภาควิชาคณิต ม.ช.) ซึ่งได้เรียนเรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
ก็เรียนไปเรื่อย ๆ จนมาถึงสูตรนี้ n Cr + nCr+1 = n+1Cr+1 อ.ที่สอนไม่ให้ใช้การพิสูจน์แบบกระจาย factorial ซึ่งมันจะพิสูจน์ได้ โดยใช้ pascal และอีกวิธีหนึ่ง... สมมติให้มีของอยู่ n + 1 ชิ้น OOOO....OO |- n ชิ้น--| 1 ชิ้น ต่อมา เราไม่เอา 1 ชิ้นนั้น ก็จะเหลือ n ชิ้น จาก n ชิ้น เลือกมา r ชิ้น ต่อมา อ.ก็บอกอะไรสักอย่าง สรุปได้เป็น nCr+1 และก็ สุดท้ายก็บอกว่าเอามารวมกันแล้วจะได้ n+1Cr+1 ตอนนั้นผมงง ตั้งแต่ตอนที่สอง ที่ว่า nCr+1 อะครับ งงมากก... ถ้าใครพอมีความรู้ รบกวนช่วยอธิบายหน่อยนะครับ
__________________
Mathematics is the queen of Science. 12 พฤศจิกายน 2005 21:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ modulo |
#2
|
|||
|
|||
ขออธิบาย ตั้งแต่เริ่มต้นเลยนะครับ
สมมติมีของ n+1 ชิ้น ต้องการเลือกออกมา r+1 ชิ้น (เท่ากับว่าได้\(\large{n+1 \choose r+1} \) วิธี) ให้ x เป็นของชิ้นหนึ่งในบรรดาของ n+1 ชิ้น แน่นอนว่า x อาจถูกเลือกอยู่ใน r+1 ชิ้นหรือไม่ถูกเลือกก็ได้ กรณีที่ 1: ถ้า x รวมอยู่ใน r+1 ชิ้น แสดงว่า เราจะเลือกของเพียง r ชิ้น(เพราะ x เลือกไปแล้ว) จากของ n ชิ้น นั่นคือได้\(\large{n \choose r} \) วิธี กรณีที่ 2: ถ้า x ไม่รวมอยู่ใน r+1 ชิ้น แสดงว่า เรายังต้องเลือกของ r+1 ชิ้น จากของแค่ n ชิ้น(ไม่คิด x) นั่นคือได้\(\large{n \choose r+1} \) วิธี ดังนั้น \(\large{n+1 \choose r+1}={n \choose r}+{n \choose r+1} \) ซึ่งสูตรนี้ สามารถนำมาช่วยพิสูจน์ เอกลักษณ์ ข้างล่างนี้ได้ด้วย \(\large {r \choose r}+{r+1 \choose r}+{r+2 \choose r}+...+{n \choose r}={n+1 \choose r+1} \) (อันนี้ให้เป็นของแถมแล้วกันนะครับ )
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#3
|
||||
|
||||
ที่อาจารย์สอนมาเป็นการมองตามความหมายของการจัดกลุ่ม มากกว่าจะมองที่ตัวเลขเพียงอย่างเดียวครับ
นอกจากจะมองแบบที่น้อง passer-by บอกมาแล้ว เราอาจมองแบบความสัมพันธ์เวียนบังเกิด คือ หากเราต้องหา \({n+1 \choose r+1}\) จาก \({n \choose r}\) ที่ทราบค่าอยู่ก่อนแล้ว จะต้องทำอย่างไรบ้างจึงจะไม่เปลืองแรง จากกลุ่มสิ่งของ \(r\) ชิ้น ที่ถูกเลือกมาจากของทั้งหมด \(n\) ชิ้น ที่เราเคยจัดไว้แล้ว เพียงเรานำของชิ้นใหม่ \(1\) ชิ้นที่เพิ่มเข้ามา ไปรวมกับกลุ่มสิ่งของนี้ ก็จะได้การจัดกลุ่มสิ่งของ \(r+1\) ชิ้น ที่เลือกมาจากสิ่งของ \(n+1\) ชิ้น ที่มีสิ่งของชิ้นใหม่ \(1\) ชิ้นเพิ่มเข้ามาด้วย จะได้จำนวนวิธีเป็น \({n \choose r}\) วิธี คงเดิม เหลือเพียงการจัดกลุ่มสิ่งของที่ไม่รวมของชิ้นใหม่ \(1\) ชิ้นนั้น ทำได้โดยเลือกสิ่งของจำนวน \(r+1\) ชิ้น จากสิ่งของเดิมทั้งหมด \(n\) ชิ้น ได้จำนวนวิธีทั้งสิ้น \({n \choose r+1}\) วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีจัดกลุ่มทั้งหมดจึงเป็น \(\displaystyle{{n \choose r} + {n \choose r+1} = {n+1 \choose r+1}}\) การมองความหมายของสูตรมากกว่าตัวเลขเพียงอย่างเดียว จะได้อะไรสนุกๆมากขึ้นเยอะเลยครับ อย่างเช่น Fermat's Little Theorem ที่บอกว่า ถ้า \(a\) เป็นจำนวนนับและ \(p\) เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วจะได้ว่า \(a^p \equiv a \bmod p\) (หรือ \(p \mid a^p - a\) นั่นเอง) ก็มีคนมองว่า เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีนี้โดยใช้ความรู้เรื่องการจัดกลุ่มได้เช่นกัน สมมติว่าเรามีลูกปัด \(a\) สีเป็นจำนวนมาก เราต้องการนำลูกปัดเหล่านี้มาร้อยเป็นสร้อยคอ โดยที่สร้อยคอแต่ละเส้น ประกอบด้วยลูกปัดจำนวน \(p\) ลูก เริ่มต้นจากจากนำลูกปัดมาร้อยในด้ายเส้นหนึ่ง(ยังไม่ต่อปลายด้ายเข้าด้วยกัน) เราจะได้รูปแบบสีของลูกปัดบนด้ายแต่ละเส้นจำนวน \(a^p\) รูปแบบ หากเราคัดด้ายเส้นที่ประกอบด้วยลูกปัดสีเดียวกันทั้งหมดทิ้งไป (มีอยู่ \(a\) รูปแบบ) จะเหลือรูปแบบทั้งหมด \(a^p - a\) รูปแบบ จากนั้นเมื่อเรานำปลายด้ายมาต่อเข้าด้วยกันเป็นสร้อยคอ เราจะพบว่ามีสร้อยคอบางเส้นที่รูปแบบซ้ำกัน เนื่องจากแตกต่างกันเพียงลูกปัดที่ขยับไปรอบๆสร้อยตามเข็มนาฬิกา ยกตัวอย่างเช่น สร้อยคอที่ประกอบด้วยลูกปัด 8 ลูก โดยมีลูกปัดให้เลือก 2 สีคือแดง(R) หรือ เขียว(G)
หาก \(p\) เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า \(x = 1\) หรือ \(x = p\) แต่กรณีที่ \(x = 1\) ซึ่งหมายถึงขยับลูกปัด \(1\) ลูก แล้วได้รูปแบบเดิมเสมอ ไม่เกิดขึ้นแน่นอน เพราะรูปแบบนี้คือสร้อยที่ประกอบด้วยลูกปัดสีเดียวกันทั้งหมด ซึ่งเราคัดออกไปในตอนแรกแล้ว ดังนั้นจึงเหลือเพียงกรณีเดียวเท่านั้นคือ \(x = p\) นั่นก็หมายความว่า สร้อยคอแต่ละเส้นที่ประกอบด้วยลูกปัดเป็นจำนวนเฉพาะ \(p\) ลูก มาจากการต่อด้ายที่เป็นไปได้ \(p\) รูปแบบแน่นอน (แตกต่างจากกรณีที่ \(p\) ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เช่น \(p=8\) ในตัวอย่างข้างต้น ที่มาจากการต่อด้าย A 8 รูปแบบ หรือมาจากการต่อด้าย B 4 รูปแบบ หรือ มาจากการต่อด้าย C 2 รูปแบบ) เมื่อหักรูปแบบสร้อยคอที่ซ้ำกันออกไป จึงได้จำนวนรูปแบบสร้อยคอที่แตกต่างกันทั้งหมดเป็น \(\frac{a^p - a}{p}\) รูปแบบ เนื่องจากจำนวนรูปแบบเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า \(p \mid a^p - a\)
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 12: Divisibility of Central Binomial Coefficients | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 11 | 25 กุมภาพันธ์ 2006 00:19 |
binomial problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 3 | 17 เมษายน 2005 19:47 |
โจทย์ของ simple[2] (โจทย์ binomial) | infinity | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 21 กันยายน 2002 17:59 |
|
|