#1
|
||||
|
||||
Serbia2008
กำหนดให้ $a,b,c>0$ และ $a+b+c=1$ จงแสดงว่า
$$\sum_{cyc} \dfrac{1}{bc+a+\frac{1}{a}} \leq \frac{27}{31}$$
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
#2
|
||||
|
||||
Any solution without S.O.S?
|
#3
|
||||
|
||||
อ่า...วิธีผมครับ ช่วยเช็คให้ด้วยนะครับ ไม่ S.O.S แต่ค่อนข้างถึก
ก่อนอื่นผมขอกล่าวถึงอสมการสองอันนี้ก่อน เพราะต่อไปต้องใช้(แต่พิสูจน์ง่ายครับ) $1.) (a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac {2(a+b+c)}{3})^3=\frac {8}{27}$ $2.) (a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac {8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)=\frac {8}{9}(ab+bc+ca)$ ซึ่งใช้เพียง AM-GM ก็พิสูจน์ได้ครับ $LS= \sum_{cyc}\frac {1}{bc+a(a+b+c)+\frac {1}{a}}$ $=\sum_{cyc}\frac {1}{(a+b)(a+c)+\frac {1}{a}}$ $=\sum_{cyc}\frac {a}{a(a+b)(a+c)+1}$ $\leq \sum_{cyc}\frac {a}{a(a+b)(a+c)+1+(a+b)(b+c)(c+a)-\frac {8}{27}}$ (จาก 1.)) $=\sum_{cyc}\frac {a}{(a+b+c)(a+b)(a+c)+\frac {19}{27}}$ $=\sum_{cyc}\frac {a}{(a+b)(a+c)+\frac {19}{27}}$ จากอสมการ Cauchy-Schwarz $12(\frac {1}{\frac {1}{12}(a+b)(a+c)})+19(\frac {1}{\frac {1}{27}}) \geq \frac{(31)^2}{12(\frac{1}{12}(a+b)(a+c))+19(\frac {1}{27})}$ $\frac {144}{(a+b)(a+c)}+19\times 27 \geq \frac {31^2}{(a+b)(a+c)+\frac {19}{27}}$ ทำจนครบ cyclic จะได้ $\sum_{cyc}\frac {31^2a}{(a+b)(a+c)+\frac {19}{27}}\leq \sum_{cyc}\frac {144a}{(a+b)(a+c)}+\sum_{cyc} (19\times 27)a$ $=144\frac {a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+(19\times 27)(a+b+c)$ $=144\frac {2(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+19\times 27$ $\leq 144\times2\times\frac {9}{8}+19\times 27$ (จาก 2.)) $=12\times 27+19\times 27$ $=31\times 27$ ดังนั้น $LS\leq \sum_{cyc}\frac {a}{(a+b)(a+c)+\frac {19}{27}} \leq \frac {27\times 31}{31^2}=\frac {27}{31}$
__________________
PHOENIX
NEVER DIE |
#4
|
||||
|
||||
prove that $LHS\leq \frac{3(a+b+c)}{3abc+3+a^2+b^2+c^2}$
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
|
|