|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Functional Equation !!!
1.จงหา $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับ
$f(xf(x+y)) = f(yf(x)) + x^2$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ 2.จงหา $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับ $f(xy+f(x)) = xf(y)+f(x)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ อาจจะมีมาให้ช่วยอีกนะครับ
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
#2
|
||||
|
||||
ทำได้เเต่ข้อ 2) เเฮะ
สมมติว่า $f(x)=f(y)$ จากสมการเชิงฟังก์ชันของโจทย์ $f(xy+f(y))=f(xy+f(x))$ , $yf(x)+f(y)=xf(y)+f(x)$ จากที่สมมติไปว่า $f(x)=f(y)$ จะได้ $yf(x)=xf(y)$ เเละ เมื่อ $f(x)=f(y)\not = 0$ เเล้ว $x=y$ ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 จากสมการเชิงฟังก์ชันโจทย์เเทนค่า $y=0$ จะได้ $f(f(x))=xf(0)+f(x)$ เเทนค่า $x=0$ ได้ $f(f(0))=f(0)$ ด้วยความเป็น 1-1 ได้ $f(0)=0$ เเทนค่ากลับคืนในสมการ $f(f(x))=xf(0)+f(x)=f(x)$ ได้ $f(f(x))=f(x)$ ด้วยความเป็น 1-1 อีกครั้ง ได้ $f(x)=x$ เป็นคำตอบ ส่วนข้อ 1 ผมว่าได้ $f(x)=x$ เป็นคำตอบเหมือนกันครับ เเต่ขั้นตอนการพิสูจน์ยังไม่สมบูรณ์ ต้องรบกวนท่านอื่นเเล้วละครับ เเต่ถ้าคุณสุวิวัฒน์มีบทพิสูจน์ว่า $f$ เป็น Bijective ก็รบกวนโพสต์ให้ดูด้วยนะครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
hard functional equation | dektep | พีชคณิต | 6 | 14 เมษายน 2016 17:48 |
Functional Equation | Spotanus | พีชคณิต | 1 | 03 ตุลาคม 2008 21:58 |
Functional Equation Problem | RoSe-JoKer | พีชคณิต | 18 | 17 พฤษภาคม 2008 12:39 |
IMO;Functional Equation | The jumpers | พีชคณิต | 4 | 12 พฤษภาคม 2008 14:43 |
Functional Equation | dektep | พีชคณิต | 14 | 14 มีนาคม 2008 11:35 |
|
|