|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ
Let a,b,c and d be positive integers such that $ab^2+ad^2+cb^2=ba^2+bd^2+ca^2$
and$a^2+b^2+c^2+d^2$ is prime. Prove that $a=b$ |
#2
|
|||
|
|||
ย้ายสมการโจทย์มาลบกันแล้วจัดรูป
จะได้ $(a-b)(d^2-ab-bc-ca)=0$ สำหรับ positive $a,b,c,d$ โจทย์ให้พิสูจน์ว่า $a=b$ เราก็พิสูจน์ว่าเป็นไปไม่ได้ที่ $d^2=ab+bc+ca$ สมมติว่า $d^2=ab+bc+ca$ จัดเป็น $(a+b+c)^2=(d^2+a^2+b^2+c^2)+d^2$ แล้วใช้ประโยชน์จาก $a^2+b^2+c^2+d^2$ เป็นจำนวนเฉพาะมาสรุป มองเป็น $(a+b+c)^2-d^2=a^2+b^2+c^2+d^2$ ข้างขวาเป็นจำนวนเฉพาะ ซ้ายต้องเป็นเหมือนกัน น่าจะทำต่อเองจนจบได้แล้วล่ะครับ |
#3
|
|||
|
|||
ขอขอบคุณ คุณกระบี่ไวมากครับ ท่ีช่วยชี้แนะ
|
#4
|
|||
|
|||
ไม่รู้จะต่อยัังไงครับ ช่วยเฉลยแบบเต็มๆได้ไหมครับ ไม่ค่อยถนัดเรื่องการพิสูจน์ ขอบคุณครับ
|
#5
|
|||
|
|||
จริงๆ ทำอีกแค่นิดเดียวก็ได้แล้วครับ
แต่ถ้า request มาก็ ok ครับ idea คือเราจะหักกรณีที่ $d^2=ab+bc+ca$ ทิ้งไป เราจะสมมติในทางตรงข้าม แล้วทำ contradiction (หาข้อขัดแย้งนั่นเอง) ก็คือสมมติให้ $d^2=ab+bc+ca$ เป็นจริง จัดรูปโดยคูณ 2 แล้วบวกด้วย $a^2+b^2+c^2$ เข้าไป จะได้เป็น $(a^2+b^2+c^2+d^2)+d^2=(a+b+c)^2$ แยกเป็น $a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c-d)(a+b+c+d)$ แต่เรารู้ว่า $a^2+b^2+c^2+d^2$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $(a+b+c-d)(a+b+c+d)$ ต้องเป็นจำนวนเฉพาะด้วย แต่จาก $a+b+c+d$ มันมากกว่า $a+b+c-d$ อยู่แล้ว เพราะฉะนั้น $a+b+c+d$ ต้องเป็นจำนวนเฉพาะ และ $a+b+c-d$ ต้องเป็น 1 หมายความว่า $a+b+c=d+1$ แทนกลับได้เป็น $a^2+b^2+c^2+d^2=2d+1$ จัดรูปได้ $a^2+b^2+c^2+(d-1)^2=2$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะว่าจาก $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็มบวก ทำให้ค่าของ $a^2+b^2+c^2+(d-1)^2 \geq 3$ จบแล้วครับ |
|
|