|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Problems for Mathcenter Contest Round 3
ในการแข่งขันครั้งนี้ ไม่มีการแข่งขันระดับประถมและมัธยมปลาย เนื่องจากมีจำนวนโจทย์ที่ใช้คัดเลือกในรอบนี้น้อยเกินไป โจทย์ที่ส่งมาในสองระดับนี้ จะถูกยกยอดไปใช้เป็นโจทย์สำหรับคัดเลือกในรอบถัดไปครับ ทางผู้จัดขอสงวนสิทธิ์ที่จะนำโจทย์ในระดับอื่นๆ ที่ไม่ได้นำมาใช้ใน Longlist ไปใช้ในการคัดเลือกโจทย์สำหรับรอบถัดไปครับ หากมีข้อสงสัยหรือเสนอแนะเกี่ยวกับโจทย์ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึงเวลา 22:30 น. วันศุกร์ที่ 17 ตุลาคม 2551 เท่านั้น และจะไม่รับการถามทางข้อความส่วนตัว เจ้าของโจทย์ สามารถมาช่วยตอบข้อสงสัยได้ตามสมควร โดยไม่ต้องรอให้ผู้ดูแลเป็นผู้ตอบ แต่ห้ามใบ้หรือชี้แนะวิธีทำเด็ดขาดไม่ว่าจะโดยวิธีใดก็ตาม หมดเวลาส่งคำตอบ: วันอาทิตย์ที่ 14 ธันวาคม 2551 เวลา 22:30 น. คะแนนเต็ม 50 คะแนน 1. (5 คะแนน) $\triangle{ABC}$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมใด ๆ ซึ่งเส้นแบ่งครึ่งมุม $A,B$ และ $C$ ตัด $BC,AC$ และ $AB$ ที่ $A_1 , B_1 , C_1$ ตามลำดับ และสี่เหลี่ยม $BA_{1}B_{1}C_{1}$ มีวงกลมล้อมรอบ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{BC}{AC+AB} = \frac{AC}{AB+BC}-\frac{AB}{BC+AC}$$ (เสนอโดยคุณ dektep) 2. (5 คะแนน) ในสามเหลี่ยม ABC($AB\not= AC$)วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ ให้ $AD$ พบกับวงกลมแนบในอีกครั้งที่จุด P,ให้ $EF$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับ $AD$ ตัดกันที่ $Q$ และให้ $AQ$ ตัดกับ $DE$ ที่ $X$ และ $DF$ ที่ $Y$ จงพิสูจน์ว่า $AX=AY$ (เสนอโดยคุณ tatari/nightmare) 3. (5 คะแนน) ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ เป็น $a,b,c$ ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{ab\sin{2C}+bc\sin{2A}+ca\sin{2B}}{ab+bc+ca}\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (เสนอโดยคุณ nooonuii) 4. (5 คะแนน) กำหนดให้ $p,q,r \in \mathbb{R}^+$ และสำหรับทุก $n \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $pqr=1$ จงแสดงว่า $$ \frac{1}{p^n+q^n+1} + \frac{1}{q^n+r^n+1} + \frac{1}{r^n+p^n+1} \leq 1$$ (เสนอโดยคุณ Art_Ninja) 5. (5 คะแนน) กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $ab+bc+ca = 3$ จงพิสูจน์ว่า $$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\geq\dfrac{3}{2}$$ (เสนอโดยคุณ dektep) 6. (5 คะแนน) สำหรับจำนวนเต็มบวกคู่ $a>1$ จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวก $n$ อนันต์ตัวที่ทำให้ $$n\mid a^n+1$$ (เสนอโดยคุณ tomoyo_jung) 7. (5 คะแนน) ให้ $n,d$ เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์ว่า มีลำดับเลขคณิตของจำนวนเต็มบวก $$a_1,a_2,...,a_n$$ ที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ $d$ และ $a_i$ มีตัวประกอบเฉพาะมากกว่าหรือเท่ากับ $i$ ทุกค่า $i=1,2,...,n$ (เสนอโดยคุณ nooonuii) 8. (5 คะแนน) พิสูจน์ว่ามีจุด $A_0 \,\, ,A_1 \,\, , \cdots A_{2550}$ ที่ต่างกันบนระนาบ XY ซึ่งสอดคล้องกับคุณสมบัติต่อไปนี้พร้อมกัน (i) สามจุดใดๆ ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ii) ถ้า $ d(A_i,A_j)$ แทนระยะห่างระหว่าง $A_i\,\, , A_j $ แล้ว $$ \sum_{0 \leq i< j \leq 2550}\{d(A_i,A_j)\} < 10^{-2551}$$ NOTE : $ \{x \}$ แทนส่วนที่เป็นทศนิยมของ x เช่น $ \{ 3.16\} = 0.16$ (เสนอโดยคุณ passer-by) 9. (5 คะแนน) กำหนด $P$ เป็นฟังก์ชันพหุนามโดย $p_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1} x^k$ ก. จงพิสูจน์ว่า สำหรับ $m,n\in N$ เมื่อหาร $p_n(x)$ ด้วย $p_m(x)$ แล้ว จะเหลือเศษเป็น $$p_i(x),\forall i=0,1,...,m-1$$ ข. จงหาจำนวนเต็มบวก $i,j,k$ ทั้งหมดที่ทำให้ $$p_i(x)+p_j(x^2)+p_k(x^4)=p_{100}(x)$$ (เสนอโดยคุณ square1zoa) 10. (5 คะแนน) ข้อสอบชุดหนึ่งเป็นข้อสอบปรนัยมี 5 ข้อ แต่ละข้อมี 4 ตัวเลือก มีผู้เข้าสอบ 2000 คน แต่ละคนเลือกคำตอบในแต่ละข้อเพียงตัวเลือกเดียวเท่านั้น จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ที่ทำให้กระดาษคำตอบของนักเรียนมีสมบัติต่อไปนี้: ในกระดาษคำตอบของนักเรียน $n$ แผ่น มีสี่แผ่นในนั้น ที่สองแผ่นใดๆในสี่แผ่นนั้นมีคำตอบเหมือนกันอย่างมากสามข้อ (เสนอโดยคุณ tatari/nightmare) คะแนนเต็ม 19 คะแนน 1. (4 คะแนน) กำหนดสามเหลี่ยม ABC และจุด $ P_0= A $ , $ P_1 = $ จุดกึ่งกลาง $BC$ $ P_{2k} = $ จุดกึ่งกลาง $AP_{2k-1}$ และ $ P_{2k+1} = $ จุดกึ่งกลาง $BP_{2k}$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนนับ เมื่อ $ k \rightarrow \infty $ จุด $P_k$ มีแนวโน้ม ลู่เข้าหาจุดบนด้าน AB และแบ่ง AB ออกเป็นอัตราส่วนค่าหนึ่ง จงหาว่าอัตราส่วนดังกล่าวเป็นเท่าใด (เสนอโดยคุณ passer-by) 2. (4 คะแนน) จงหาค่าของ $$\frac{1\cdot 2\cdot 3}{1!+2!+3!}+\frac{2\cdot 3\cdot 4}{2!+3!+4!}+\frac{3\cdot 4\cdot 5}{3!+4!+5!}+\cdots$$ (เสนอโดยคุณ nooonuii) 3. (5 คะแนน) แบคทีเรียชนิดหนึ่งจะแบ่งตัวออกเป็น $3$ ส่วนที่มีคุณสมบัติเหมือนต้นแบบเมื่อเวลาผ่านไป $t$ วินาที โดยมีโอกาสที่จะแบ่งตัวสำเร็จเป็น $p$ โดยที่ $(0\leq p\leq 1)$ ถ้าแบ่งตัวไม่สำเร็จจะตายทันที กำหนดให้ $\displaystyle{f_{n}(p)}$ เป็นความน่าจะเป็นที่แบคทีเรียจะแบ่งตัวไปเรื่อย ๆ เมื่อตอนเริ่มต้นมีแบคทีเรีย $n$ ตัว จงหาค่าของ $\displaystyle{f_{1}(p)}$ ในรูปของ $p$ หมายเหตุ : แบคทีเรียไม่มีการแก่ตาย (เสนอโดยคุณ Timestopper_STG) 4. (3+3 คะแนน) ให้ $s_1<s_2<\cdots<s_n$ เป็นจำนวนจริง นิยาม $n\times n$ matrix $A=(a_{ij})$ โดย $$a_{ij}=\max\{s_i,s_j\}$$ (a) จงพิสูจน์ว่า $A$ เป็น invertible matrix ก็ต่อเมื่อ $s_n\neq 0$ (b) สมมติว่า $s_n\neq 0$ นิยาม $A^{-1}=(b_{ij})$ จงหาค่าของ $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{ij}$$ (เสนอโดยคุณ nooonuii) คะแนนเต็ม 13 คะแนน 1. (4 คะแนน) หมายเหตุจากเจ้าของโจทย์: ในรูปเกิดการใช้ตัวแปร $K$ ซ้ำครับ ขอแก้เป็น $K_1$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมรูปใหญ่ $K_2$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมรูปเล็ก จากรูป - ให้ $K_2N$ ยาว 1 หน่วย จุด $K_2$ ,$L$ และ $P$ เป็นจุดบนวงกลม $N$ - สี่เหลี่ยม $WXYZ$ เป็นการย่อสี่เหลี่ยม $ABCD$ ครั้งที่ 1 ถ้าย่อ สี่เหลี่ยม $WXYZ$ ไปเรื่อยๆ $n$ ครั้ง โดยการย่อแต่ละครั้งจะเท่ากับอัตราส่วนที่ย่อ สี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยม $WXYZ$ - จงหาอัตราส่วนพื้นที่สามเหลี่ยมโค้ง $MAN$ ต่อพื้นที่ที่เกิดจากการย่อส่วนพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยส่วนโค้ง $K_2PL$ และส่วนของเส้นตรง $K_2L$ จำนวน $n$ ครั้ง หมายเหตุ: โปรดอ่านความคิดเห็นที่ 2 ของคุณ [SIL] ประกอบ (เสนอโดยคุณ [SIL]) 2. (4 คะแนน) กำหนด $ 0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ จงหาว่า ค่าต่ำสุดของ $ 6\sec^2 \theta - 6\sec \theta \tan \theta -2 \sec \theta +2 \tan \theta -9 $ เกิดเมื่อ $\sin \theta$ มีค่าเท่าใด (เสนอโดยคุณ passer-by) 3. (5 คะแนน) จงแก้ระบบสมการ $$(x_i-x_{i+1}+x_{i+2})^2=x_{i+1}(x_{i+3}+x_{i+4}-x_{i+1})$$ สำหรับทุก $i=1,2,3,4,5$ (Note: $x_{k+5}=x_{k}$) (เสนอโดยคุณ tatari/nightmare) ปล. อย่ากลัวที่จะทำโจทย์ข้ามรุ่น เพราะบางข้ออาจไม่ยากอย่างที่คิด ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์ปัญหาครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 12 ตุลาคม 2008 19:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: เพิ่มหมายเหตุโจทย์ม.ต้นข้อแรก |
#2
|
||||
|
||||
มัธยมต้น ข้อ 1 เกิดการใช้ตัวแปร K ซ้ำครับ ขอแก้เป็น
$K_1$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมรูปใหญ่ $K_2$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมรูปเล็กนะครับ 1. (4 คะแนน) เงื่อนไข จากรูป - ให้ $K_2N$ ยาว 1 หน่วย จุด $K_2$ ,L และ P เป็นจุดบนวงกลม N - สี่เหลี่ยม WXYZ เป็นการย่อสี่เหลี่ยม ABCD ครั้งที่ 1 ถ้าย่อ สี่เหลี่ยม WXYZ ไปเรื่อยๆ n ครั้ง โดยการย่อแต่ละครั้งจะเท่ากับอัตราส่วนที่ย่อ สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยม WXYZ - จงหาอัตราส่วนพื้นที่สามเหลี่ยมโค้ง MAN ต่อพื้นที่ที่เกิดจากการย่อส่วนพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยส่วนโค้ง $K_2PL$ และส่วนของเส้นตรง $K_2L$ จำนวน n ครับ เรียบร้อยแล้วนะครับ หุหุ 12 ตุลาคม 2008 16:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ [SIL] |
#3
|
||||
|
||||
$K_1PL$ และ $K_1L$ ควรแก้เป็น $K_2PL$ และ $K_2L$ ตามลำดับนะครับ
|
#4
|
||||
|
||||
ผมได้ทำ file โจทย์ mathcenter contest R 3 เอาไว้
เป็น file pdf ถ้าใครสนใจ ก็โหลดเอาไปปริ๊น เพื่อฝึกทำได้ครับ link อยู่นี่ครับ http://www.uploadd.com/download.aspx?pku=35CBB86125RJ1WWP[5YS1LM6CF5TWR link สำรองหาก load ข้างบนไม่ได้ http://www.uploadtoday.com/download/?79963&A=875167
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#5
|
||||
|
||||
คุณ mercedesbenz สวยงามมากครับ เสียเวลาทำนานนะเนี่ย
โหลดลิ้งสำรองนะครับรู้สึกลิ้งค์บนเสีย |
#6
|
||||
|
||||
ว๊ากกก จะบ้าตาย ม.ต้นออกอารัยมา
ทำม่ะได้รุย |
#7
|
||||
|
||||
ขออภัยนิดนึง สำหรับคนที่คิดข้อ 9
โจทย์เป็นแบบนี้นะครับ $$p_i(x)p_j(x^2)p_k(x^4)=p_{100}(x)$$ |
#8
|
||||
|
||||
ตอนนี้แข่งขันเสร็จแล้ว ไม่ประกาศ Longlist อะครับ
|
#9
|
||||
|
||||
ขออภัยครับ ผมยุ่งจนลืมไปเลย เดี๋ยวพรุ่งนี้เย็นๆจะแวะมาแปะให้ครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#10
|
||||
|
||||
โจทยืดีครับ แต่เดี่ยวผมจะไปทำโจทย์IOM แล้ว
__________________
วะฮ่ะฮ่ะฮ่า
ข้าคืออุลตร้าแมน ทุกโพสเป็นไปเพื่อความสันติสุขของเหล่ามวลมนุษย์ อุลตร้าแมนจงเจริญ |
#11
|
||||
|
||||
เมื่อไหร่จะประกาศซักที (พวกฟอสซิลก็ที่หนึ่งตามเคย)
|
#12
|
||||
|
||||
ไม่เหนของมปลาย -*-
|
#13
|
||||
|
||||
น่าจะมีป.บ้างน้า
|
#14
|
||||
|
||||
เห็นเริ่มๆมีคนถามถึงกันนะ แต่พอเปิดแข่งจริงไม่ค่อยมีคนตอบหรือส่งโจทย์มาสักเท่าไหร่ครับ ในฐานะคนจัดก็แอบใจเสียนิดๆเหมือนกัน
ในปีนี้ หากไม่มีอะไรพลาด ปีนี้ (2009) จะมีการแข่งกันสามครั้ง ทุกๆสามเดือนครับ หากผมไม่ติดอะไรซะก่อน หลังสงกรานต์นี้คงเริ่มเปิดรับโจทย์สำหรับรอบเดือนเมษายน-มิถุนายน พร้อมกับการประกาศผลรอบที่แล้วครับ ทั้งนี้ หากอยากให้มีการเปลี่ยนแปลงกฎ กติกา มารยาทในการแข่งขันใดๆ ก็บอกกันได้ในกระทู้นี้ครับ เพื่อป้องกันการตอบคำถามซ้ำในกรณีที่เคยชี้แจงไปแล้ว กรุณาอ่านคำชี้แจงของการแข่งแต่ละครั้งที่ผ่านมาก่อนตั้งคำถามด้วยครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#15
|
||||
|
||||
ไม่เห็นมี ม.ปลายเลย -*-
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Problems for Mathcenter Contest Round 2 | nongtum | Mathcenter Contest | 21 | 26 มิถุนายน 2008 19:41 |
|
|