ช่วยหา n ที่มากที่สุดด้วยครับ

[Siren-Of-Step]

จงหา $n$ ที่มากที่สุดซึ่ง $ 2^n \left|\,\right. 2009^{24} - 2009^{16} - 2009^8+1$

ผมแยกได้ $(2009^8-1)(2009^{16}-1)$

ผมลองใช้ผลต่างกำลังสอง มันก็หา ทางออกไม่เจอ ช่วยหน่อยครับ

เอามาจาก มาเล่นกัน ของ Scylla_Shadow อะครับ

[หยินหยาง]

ทุกปัญหามีทางออกครับ ไม่ต้องห่วง ถ้าหาทางออกไม่เจอ ก็ไปออกตรงทางเข้าซิครับ (แก้เครียด)

มาถูกทางแล้วครับแต่ยังไม่ถึกพอ ลองกระจายต่อซิครับ แล้วลองดูพจน์แต่ละพจน์ดูว่า 2 ยกกำลังเท่าไรที่สามารถหารได้แล้วทำไปเรื่อยๆ ก็จะออกเอง เอาคำตอบไปตรวจสอบก็แล้วกัน n = 13 (ไม่แนะมากเดี๋ยวจะหาทางออกเร็วไป)

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ผมแยกได้ $(2009^8-1)(2009^{16}-1)$
ผมลองใช้ผลต่างกำลังสอง มันก็หา ทางออกไม่เจอ ช่วยหน่อยครับ

คุณ Siren-Of-Step ยังทำไม่ถึงที่สุดครับ ถ้าแยกต่อ จะได้ $(2009^8-1)(2009^{16}-1)$
= $(2009^8-1)^2(2009^{8}+1)$
= $(2009^4-1)^2(2009^4+1)^2 (2009^{8}+1)$
...
= $(2009-1)^2(2009+1)^2(2009^2+1)^2(2009^4+1)^2 (2009^{8}+1)$

[แนวคิดเพิ่มเติม] เราจะพบว่า $2009^4+1$
$= (2008+1)^4+1$
$=(2008^4+\binom{4}{1}2008^3+\binom{4}{2}2008^2+\binom{4}{3}2008^1 +1)+1 $
$=(4j +1)+1 = (4j +2) $ ซึ่งจะถูกหารด้วย $2^1$ ลงตัวเท่านั้น

ดังนั้น จัดรูปใหม่ได้ $(2008)^2(2010)^2(4i+2)^2(4j+2)^2 (4k+2)$
ลองนับตัวประกอบของเลข 2 ดูซิจะได้ $(2^3)^2(2)^2(2)^2(2)^2(2) = 2^{13}$
n ที่มากที่สุด คือ 13 ครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

คุณ Siren-Of-Step ยังทำไม่ถึงที่สุดครับ ถ้าแยกต่อ จะได้ $(2009^8-1)(2009^{16}-1)$
= $(2009^8-1)^2(2009^{8}+1)$
= $(2009^4-1)^2(2009^4+1)^2 (2009^{8}+1)$
...
= $(2009-1)^2(2009+1)^2(2009^2+1)^2(2009^4+1)^2 (2009^{8}+1)$

[แนวคิดเพิ่มเติม] เราจะพบว่า $2009^4+1$
$= (2008+1)^4+1$
$=(2008^4+\binom{4}{1}2008^3+\binom{4}{2}2008^2+\binom{4}{3}2008^1 +1)+1 $
$=(4j +1)+1 = (4j +2) $ ซึ่งจะถูกหารด้วย $2^1$ ลงตัวเท่านั้น

ดังนั้น จัดรูปใหม่ได้ $(2008)^2(2010)^2(4i+2)^2(4j+2)^2 (4k+2)$
ลองนับตัวประกอบของเลข 2 ดูซิจะได้ $(2^3)^2(2)^2(2)^2(2)^2(2) = 2^{13}$
n ที่มากที่สุด คือ 13 ครับ

สีแดงตรง $=(4j +1)+1 = (4j +2) $ มันมาได้ไงครับ

[Puriwatt]

หลักการนี้ จะพบว่ามีการนำมาใช้งานบ่อย (ผมเลยคุ้นชินกับการเขียนแบบข้ามผสมย่อ)

เนื่องจาก 4 พจน์แรกของ $($$2008^4+\binom{4}{1}2008^3+\binom{4}{2}2008^2+\binom{4}{3}2008^1$$ +1)+1 $
มี 2008 เป็นตัวประกอบ จึงสามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น $(2008m+1)+1$

แต่ 2008 สามารถหารด้วย 4 ได้ลงตัว จึงยุบได้เป็น $(4j +1)+1 = (4j +2) $ ครับ

[Siren-Of-Step]

ขอแนวคิดหน่อยครับ
$x,y,z \in \mathbb{R} $
จงหาค่าต่ำุสุดของ $\sum_{cyc} \dfrac{x^2}{(3x-2y-z^2)} $

ปล ไม่รู้ว่าใช้ ซิกม่าถูกหรือไม่
ref : eximius ชุด 7

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ขอแนวคิดหน่อยครับ
$x,y,z \in \mathbb{R} $
จงหาค่าต่ำุสุดของ $\sum_{cyc} \dfrac{x^2}{(3x-2y-z)^2} $

ปล ไม่รู้ว่าใช้ ซิกม่าถูกหรือไม่
ref : eximius ชุด 7

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=6263

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

หลักการนี้ จะพบว่ามีการนำมาใช้งานบ่อย (ผมเลยคุ้นชินกับการเขียนแบบข้ามผสมย่อ)

เนื่องจาก 4 พจน์แรกของ $($$2008^4+\binom{4}{1}2008^3+\binom{4}{2}2008^2+\binom{4}{3}2008^1$$ +1)+1 $
มี 2008 เป็นตัวประกอบ จึงสามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น $(2008m+1)+1$

แต่ 2008 สามารถหารด้วย 4 ได้ลงตัว จึงยุบได้เป็น $(4j +1)+1 = (4j +2) $ ครับ

ผมเข้าใจแบบนี้ถูกไหมครับ 2008 สามารถหารด้วย 8 ลงตัวเช่นกันแต่ มันก็ยุบได้เป็น $(8j+2)$ ซึ่งหารด้วย 2ลงตัวเท่านั้น

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ผมเข้าใจแบบนี้ถูกไหมครับ 2008 สามารถหารด้วย 8 ลงตัวเช่นกันแต่ มันก็ยุบได้เป็น $(8j+2)$ ซึ่งหารด้วย 2ลงตัวเท่านั้น

เข้าใจถูกแล้วแล้วครับ (หลักการมีอยู่แค่นี้เอง)