|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ความหมายของ integral 3 ชั้น
1 คือผมอยากทราบความหมายของการอินทิเกรตสามชั้น เหนือรูปทรงสามมิติใดๆ
เช่น กำหนดให้รูปทรงสามมิติ $G$ ถูกล้อมรอบด้วยพื้นที่ผิวที่รอบล้อมด้วยระนาบ x+3y+z=6 และระนาบพิกัด ผมเห็น dV คิดว่าน่าจะเป็นการหาปริมาตร แต่ปริมาตรของอะไรนั้นยังไม่แน่ใจ ถ้าข้อนี้ให้ f(x,y,z)=x แล้วปริมาตรที่เราหาจะเป็นปริมาตรของ??? 2 นิยามการหาปริพันธ์สามชั้นในระบบพิกัดฉาก คำว่าผลแบ่งกั้นคืออะไรครับ คล้ายๆกับเราแบ่ง (a,b) เป็น n ช่อง(ในปริพันธ์ชั้นเดียวไหมครับ) concept การหายังงงๆอยู่ครับ รู้ว่าเป็นการแบ่งเป็นชิ้นๆเล็กๆชอบคุณครับ เย้ยๆ ขอบคุณครับ 25 มกราคม 2009 02:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gnopy |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ผลแบ่งกั้นตามความคิดของ Riemann คือผลลัพธ์ที่ได้จากการแบ่งโดเมนออกเป็นส่วนย่อย ๆ ณ ที่นี้จะอธิบายอินทิกรัลสามชั้น เราแบ่งโดเมน G ของฟังก์ชัน f(x,y,z) ออกเป็นส่วนย่อย ๆ โดยให้แบ่งนั้นให้แบ่งขนานกับแกนพิกัดทั้งสาม(ตามลักษณะการแบ่ง) จะได้รูปทรงลูกบาศก์เล็ก ๆ ในโดเมน G มากมาย(สมมติให้มี n ลูกบาศก์) สมมติทรงลูกบาศก์เล็ก ๆ ที่ k ในโดเมน G มีปริมาตรคือ $\Delta v_k$ เราจะได้ผลของการแบ่งกั้น ณ n = k ใด ๆ คือ $\Delta v_k f(x_k,y_k,z_k)$ เมื่อ $(x_k,y_k,z_k)\in บริเวณ \Delta v_k$ ซึ่ง concept ผลการแบ่งกั้นก็คือ ค่าที่ได้จากการคำนวณ ปริมาตร($\Delta v_k$) คูณกับความลึก $f(x_k,y_k,z_k)$ ในมิติที่ 4 ของฟังก์ชัน f(x,y,z) จะเกิดค่า $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}\Delta v_k f(x_k,y_k,z_k)=\lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}f(x_k,y_k,z_k)\Delta v_k $$ ซึ่งเป็นผลรวมของค่าของ ปริมาตร($\Delta v_k$) คูณกับความลึก $f(x_k,y_k,z_k)$ ในมิติที่ 4 ของฟังก์ชัน f(x,y,z) เมื่อมีการแบ่งกั้นมาก ๆ ($n\rightarrow \infty $) โดยอาศัยแนวคิดเชิง Riemann จะนิยามอินทิกรัลสามชั้นของฟังก์ชัน f(x,y,z) บนบริเวณ G ดังนี้ $$\int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,f(x,y,z)\,dV = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}f(x_k,y_k,z_k)\Delta v_k$$ หรือ อินทิกรัลสามชั้นมี concept คือการคำนวณ ผลรวมของปริมาตร($\Delta v_k$) คูณกับความลึกในมิติที่ 4 ของ $f(x_k,y_k,z_k)$ ซึ่งทางคณิตศาสตร์เรายังไม่ได้นิยามว่าเป็นอะไร ขึ้นอยู่กับการนำไปประยุกต์ใช้ เช่นถ้าฟังก์ชัน f(x,y,z) เป็นฟังก์ชันความหนาแน่น(หรือ $\rho (x,y,z)$) ของวัตถุ G โดยใช้สมบัติทางฟิสิกส์ $M=\rho (x,y,z) v$ โดยที่ M เป็นมวลของวัตถุ และ v เป็นปริมาตรของวัตถุ เราจะได้ว่า $$ มวลของ G = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}\rho(x_k,y_k,z_k)\Delta v_k$$ ซึ่งเป็นผลรวมของค่าของ ปริมาตร($\Delta v_k$) คูณกับ $\rho(x_k,y_k,z_k)$ เมื่อมีการแบ่งกั้นมาก ๆ ($n\rightarrow \infty $) หรือมวลเล็ก ๆ ของวัตถุในทุก ๆ จุดของวัตถุมารวมกันมาก ๆ โดยอาศัยแนวคิดเชิง Riemann จะนิยามอินทิกรัลสามชั้นของฟังก์ชัน $\rho(x,y,z)$ คือมวล(M) ของวัตถุ G ดังนี้ $$M = \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,\rho(x,y,z)\,dV = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}\rho(x_k,y_k,z_k)\Delta v_k$$ ทำนองเดียวกัน อินทิกรัลสองชั้นมี concept คือการคำนวณ ผลรวมของพื้นที่($\Delta A_k$) คูณกับค่าที่ได้(ความสูง) ของ $f(x_k,y_k)$ เมื่อมีการแบ่งกั้นมาก ๆ ($n\rightarrow \infty $) ซึ่งทางคณิตศาสตร์นิยามว่าเป็นปริมาตร และสามารถนิยามได้เป็นอย่างอื่นอีกมากมาย อินทิกรัลหนึ่งชั้นมี concept คือการคำนวณ ผลรวมของความกว้าง($\Delta x_k$) คูณกับค่าที่ได้(ความยาว) ของ $f(x_k)$ เมื่อมีการแบ่งกั้นมาก ๆ ($n\rightarrow \infty $) ซึ่งทางคณิตศาสตร์นิยามว่าเป็นพื้นที่ และสามารถนิยามได้เป็นอย่างอื่นอีกมากมาย อ้างอิง:
มาดูตัวอย่างที่ถามนะครับ พิจารณารูปประกอบ รูป A เป็นรูปทรงสามมิติ G ของฟังก์ชัน f(x,y,z) และรูป B เป็นภาพฉาย (projection) ของทรงสามมิติ G บนระนาบ XY โดยมีการวางแถบสี (strip) ตั้งฉากแกน Y (ตามโจทย์ที่ถาม) จะได้ว่า $\int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,f(x,y,z)\,dV$ $=\int\!\!\!\int \int_{0}^{6-x-3y}\,f(x,y,z)\,dz dA$ $=\int_{0}^{2} \int_{0}^{6-3y} \int_{0}^{6-x-3y}\,f(x,y,z)\,dz dx dy$ ซึ่งจะเป็นปริมาตรของรูปทรงสามมิติ G เมื่อ f(x,y,z) = 1 ทุก ๆ จุด (x,y,z) บนบริเวณ G หรือ $$ปริมาตรของทรงสามมิติ G = \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,1\,dV = \int_{0}^{2} \int_{0}^{6-3y} \int_{0}^{6-x-3y}\,1\,dz dx dy$$ ส่วนคำถามสุดท้าย ถ้า f(x,y,z) = x จะเกิดอะไรขึ้น โดยสมบัติทางฟิสิกส์ โมเมนต์ของวัตถุ G รอบระนาบ YZ คือ $M_{YZ}=x\rho (x,y,z) v$ และแนวคิดเชิงรีมานน์ เรานิยาม โมเมนต์ของวัตถุ G รอบระนาบ YZ ($M_{YZ}$) คือ $$M_{YZ} = \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \rho(x,y,z)\,dV = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}x_k \rho(x_k,y_k,z_k)\Delta v_k$$ เมื่อ $\rho(x,y,z)$ เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของวัตถุ G ซึ่งเป็นผลรวมของค่าของ $x_k$ คูณกับ $\rho(x_k,y_k,z_k)$ คูณกับ ปริมาตร($\Delta v_k$) เมื่อมีการแบ่งกั้นมาก ๆ ($n\rightarrow \infty $) ดังนั้น $$M_{YZ} = \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \rho(x,y,z)\,dV = โมเมนต์ของวัตถุ G รอบระนาบ YZ $$ เพราะฉะนั้น $ \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \,dV=M_{YZ} $ ซึ่งก็เป็นค่าของโมเมนต์ของวัตถุ G รอบระนาบ YZ โดยที่ความหนาแน่น $\rho(x,y,z)$ มีค่าเป็น 1 ทุก ๆ จุดบนวัตถุ G เราสามารถหาจุดศูนย์ถ่วง $\overline{x} $ ของมวลของรูปวัตถุ G ได้ ถ้าฟังก์ชัน $\rho(x,y,z) = c$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่ หรือความหนาแน่น $\rho$ คงที่ จะได้ว่า $\overline{x} = \frac{M_{YZ}}{M}= \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \rho(x,y,z)\,dV / \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,\rho(x,y,z)\,dV $ $= \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x c\,dV / \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,c\,dV $ $= c\int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \,dV / c\int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,1\,dV $ $= \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \,dV / \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,1\,dV $ $= \frac{1}{ปริมาตรของ G} \int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \,dV $ เพราะฉะนั้น อาจกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า $\int\!\!\!\int\int_{G}^{}\,x \,dV = (ปริมาตรของ G)\overline{x} $ ซึ่งก็คือ ปริมาตรของวัตถุ G คูณกับจุดศูนย์ถ่วงของมวลของวัตถุ G เมื่อความหน่าแน่นของวัตถุ G คงที่ นั่นเอง |
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณ คุณชายน้อยมากครับ สำหรับความรู้
ผมคงลืมนึกไปถึงมิติที่สี่ โดยสามัญสำนึก ผมรู้ว่า องค์ประกอบของปริมาตร คือต้องรู้ความกว้าง ยาว และลึก (ในสามมิติ) เลยนึกไม่ออกว่าf(x,y,z) คืออะไร ที่แท้ก็เป็นหน่วยของความยาวนั่นเอง ผมก็เลยไม่รู้ว่าความหมายของสัญลักษณ์นี้คืออะไร แต่ตอนนี้เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากๆอีกทีครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
การ integral | Eng_Day | Calculus and Analysis | 6 | 19 มกราคม 2009 00:30 |
ช่วยจัดการ integral ตัวนี้ทีครับ | Rossix | Calculus and Analysis | 4 | 11 กันยายน 2008 20:17 |
โจทย์ Integral ค่ะ ช่วยคิดทีนะๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ | Ding Dong | Calculus and Analysis | 7 | 25 กรกฎาคม 2006 15:23 |
Integral | M@gpie | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 4 | 01 กุมภาพันธ์ 2005 01:42 |
integral จำกัดเขตข้อนี้ทำไงครับ | xlover13 | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 14 | 03 มกราคม 2002 20:04 |
|
|