|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ขอโจทย์ Am-Gm Cauchy
ตามหัวข้อเลยครับ เอาแบบ เด็กฝึกหัด ก่อน ประมาณว่า Lv.1-2 อะครับ Max Level คือ 10 นะครับ
__________________
Fortune Lady
|
#2
|
||||
|
||||
เอาง่ายๆก่อนนะ
1.Let $w,x,y,z,\in\mathbb{R} ^+$ and $wxyz=1$ Prove that $$(w+\sqrt{x})(x+\sqrt{y})(y+\sqrt{z})(z+\sqrt{w})\geqslant 16$$ 2.Let $x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} ^+$ and $x_1x_2x_3...x_n=1$ Prove that $$\prod_{k= 1}^{n-1} (x_k+\sqrt{x_{k+1}})\geqslant \dfrac{2^{n-1}}{\sqrt{x_n\sqrt{x_1}}}$$
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
17 เมษายน 2010 19:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Ne[S]zA |
#3
|
|||
|
|||
3. $a,b,c\geq 0$
$(a+b^2+c^3)(b+c^2+a^3)(c+a^2+b^3)\geq 27(abc)^2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
||||
|
||||
http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=7772&page=2
ความยากเรียงตามเลขข้อ 1-10 เลขครับ ดูกระทู้เก่าอื่นๆก็ช่วยได้เยอะเหมือนกันครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3357 เเต่กระทู้นี้คุณเข้าไปดูเเล้ว ถ้าไม่ดูเฉลยเเล้วยังทำได้หมดก็ถึงเวลาอัพเลเวลเเล้วละครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$a+b^2+c^3 \geqslant 3\sqrt[3]{ab^2}c$ $a^3+b+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{bc^2}a$ $a^2+b^3+c \geqslant 3\sqrt[3]{ca^2}b$ จับมาคูณกัน จะได้ $(a+b^2+c^3)(b+c^2+a^3)(c+a^2+b^3) \geqslant 27(abc)^2 $
__________________
Fortune Lady
|
#6
|
||||
|
||||
[quote='Ne[S]zA;85165']เอาง่ายๆก่อนนะ
1.Let $w,x,y,z,\in\mathbb{R} ^+$ and $wxyz=1$ Prove that $$(w+\sqrt{x})(x+\sqrt{y})(y+\sqrt{z})(z+\sqrt{w})\geqslant 16$$ $w+\sqrt{x} \geqslant 2\sqrt{w\sqrt{x}}$ $x+\sqrt{y} \geqslant 2\sqrt{x\sqrt{y}}$ $y+\sqrt{z} \geqslant 2\sqrt{y\sqrt{z}}$ $z+\sqrt{w} \geqslant 2\sqrt{z\sqrt{w}}$ จับคูณกัน และจาก เงื่อนไข $wxyz = 1$ $$(w+\sqrt{x})(x+\sqrt{y})(y+\sqrt{z})(z+\sqrt{w})\geqslant 16$$
__________________
Fortune Lady
|
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
มาดูข้อ 2 เห็นว่ามันง่ายกว่า $\sum_{cyc}x^2 \geq \sum_{cyc}xy$ $x^2+y^2 \geqslant 2xy$ ใช้ am-gm ข้อ 3 $\sum_{cyc}\frac{a^3}{bc} \geq \sum_{cyc} a$ $\dfrac{a^3}{bc} +\dfrac{b^3}{ac} +\dfrac{c^3}{ab} \geqslant a+b+c$ $\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc} +\dfrac{a^4}{abc} \geqslant a+b+c$ จาก Am-Gm $\dfrac{\dfrac{a^4+b^4}{abc}}{2} \geqslant \dfrac{a^2b^2}{abc}$ . . จะได้ $\dfrac{a^3}{bc} +\dfrac{a^3}{bc} +\dfrac{a^3}{bc} \geqslant \dfrac{ab}{c}+ \dfrac{bc}{a}+ \dfrac{ab}{c}$ ใช้ Am-Gm อีกรอบ จะได้ $\dfrac{\dfrac{ab}{c}+ \dfrac{bc}{a} }{2} \geqslant b$ . . เอามาบวกกัน จะได้ $\sum_{cyc}\frac{a^3}{bc} \geq \sum_{cyc} a$
__________________
Fortune Lady
17 เมษายน 2010 23:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Siren-Of-Step |
#8
|
||||
|
||||
ของคุณ Ne[S]zA $RHS$ ต้องเป็น $\frac{1}{\sqrt{x_n\sqrt{x_1}}}$ ไม่ใช่เหรอครับ?
ข้อ $1$ ใช้ AM-GM เเบบ $3$ พจน์ $a+b+c\geq(abc)^{\frac{1}{3}}$ เเล้วใช้เงื่อนไขที่โจทย์ให้มา โจทย์ข้อ $3$ ใช้ AM-GM ต่อเดียวก็ได้ครับ $\sum_{cyc}[\frac{a^3}{bc}+b+c]\geq\sum_{cyc}3a$ ใช้ AM-GM เเบบ $3$ พจน์ เเล้วย้าย $2(a+b+c)$ ไปลบกับ $3(a+b+c)$ ได้ $RHS$ พอดี ทำโจทย์อสมการทุกข้อลองหาดูด้วยว่าอสมการเป็นสมการเมื่อไรด้วยนะครับฝึกๆไว้
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#9
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ปล.แต่งโจทย์ไปไม่ได้ทดก็เป็นงี้แหละครับ เหอะๆ
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
|
#10
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
||||
|
||||
ข้อ 3 ผมถูกไหมครับ
4) $\sum_{cyc}a^3 \geq \sum_{cyc}a^2b$ กระจายออกมา $a^3 +b^3 \geqslant a^2b + ab^2$ Am-Gm $\sum_{cyc}\dfrac{2a^3+b^3}{3}\geqslant\sum_{cyc} a^2b$ จะได้ ตามที่ต้องการ จะเป็นสมการได้ก็ต่อเมื่อ $a=b$ ข้อ 5 มันต่างอะไรจาก ข้อ 4หรอครับ
__________________
Fortune Lady
17 เมษายน 2010 23:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Siren-Of-Step |
#12
|
||||
|
||||
ขอถามเพิ่มหน่อยครับ ช่วยข้อนี้หน่อยครับ
find the minimum of $ \left(\frac{x_{1}^{2}+4}{2x_{1}}\right)+\left(\frac{x_{2}^{2}+9}{2x_{2}}\right)+\cdots+\left(\frac{x_{n}^{2}+n^{2}+2n+1}{2x_{n}} \right) $
__________________
Fortune Lady
17 เมษายน 2010 23:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Siren-Of-Step |
#13
|
|||
|
|||
ข้อ 4 มันเป็น cyclic sum นะครับ ไม่ใช่ symmetric sum
4. $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$ 5. $a^3+b^3+c^3\geq ab^2+bc^2+ca^2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#14
|
|||
|
|||
เพิ่มให้อีกข้อ
11. $a,b,c>0$ $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\geq\dfrac{9}{ab+bc+ca}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#15
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\dfrac{2a^3+b^3}{3} \geqslant a^2b $ $\dfrac{2b^3+c^3}{3} \geqslant b^2c$ $\dfrac{2c^3+a^3}{3} \geqslant c^2a$ บวกกันได้ ตามต้องการ อสมการจะเป็นสมการ เมื่อ $a=b=c$ ข้อ 5 $\dfrac{a^3+2b^3}{3} \geqslant ab^2 $ $\dfrac{b^3+2c^3}{3} \geqslant bc^2$ $\dfrac{c^3+2a^3}{3} \geqslant ca^2$ บวกกันจะได้ ตามที่ต้องการ อสมการจะเป็นสมการเมื่อ $a=b=c$
__________________
Fortune Lady
18 เมษายน 2010 10:27 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Siren-Of-Step |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ขอโจทย์ Am-Gm Cauchy | Siren-Of-Step | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 3 | 09 กุมภาพันธ์ 2010 20:11 |
cauchy integral formula | milch | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 01 สิงหาคม 2009 22:36 |
Stronger than Cauchy | RoSe-JoKer | อสมการ | 6 | 25 กรกฎาคม 2008 17:23 |
Want Cauchy and AM-GM-HM | CmKaN | อสมการ | 15 | 06 พฤษภาคม 2008 14:15 |
|
|