|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์ real analysis เบื้องต้นรบกวนด้วยครับ
เป็นโจทย์ในแบบฝึกหัดครับ ไม่ใช่การบ้านนะคับ เฉลยเองไม่ได้ คับแค้นใจนัก ขอความช่วยเหลือด้วยครับ ขอบคุณครับ
(1) Show that if f:A ฎ B is injective and E อ A, then f-1(f(E)) = E. (2) Suppose that f is an injection. Show that f-1๐f(x) = x for all x ฮ D(f) and that f ๐ f-1(y) = y for all y ฮ R(f).
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $ |
#2
|
||||
|
||||
ไม่เคยเรียนนะครับ มาลองมั่วดูบางส่วน ไม่รู้ว่าได้ไหม
ข้อ 2) เพราะว่า f เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 ดังนั้นสำหรับทุก x ใน df จะมี y ใน Rf เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ y = f(x) และ f-1(y) = x แต่ \(f^{-1} o f (x) = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(y) = x \) อะไรแบบนี้ได้หรือเปล่า |
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับคุณ gon น่าจะใช้ได้นะครับ ปัญหาเฉพาะหน้าของผมคือไม่เคยเรียนเลขเป็นทางการมาก่อน เวลาเขียนพิสูจน์ ประพจน์ต่อเนื่องที่ดูน่าจะพื้นๆผมจะไม่แน่ใจว่านี่ valid หรือเปล่า
ยังรอข้อ (1) จากทุกท่านนะครับ แต่ถ้าผมถามอย่างเดียว อาจจะมีคนคิดว่าผมไม่ได้ทำการบ้านมาเลย ผมมั่วข้อ (1) แบบนี้นะครับ ให้ f:AฎB เป็น bijection และ E อ A จะแสดงว่า f-1(f(E)) อ E ให้ x ฮ f-1(f(E)) ดังนั้น f(x) ฮ f(E) และ x ฮ E ดังนั้น f-1(f(E)) อ E พอมาถึงตรงนี้ผมก็หยุดแล้วเพราะรู้ว่าผิดชัวร์ เช่น f(x) = x2 ถ้าให้ E=[0,2] จะได้ว่า f(E) = [0,4] และ f-1(f(E)) = [-2,2] จะเห็นว่าที่จริงแล้ว E อ f-1(f(E)) ผมเลยแหยงขึ้นมาว่าเรามั่วแล้ว - -a
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $ |
#4
|
||||
|
||||
\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_0^+,\ x\mapsto{x^2}\) injective แต่ไม่ bijective ครับ นั่นคือ f จะไม่มีอินเวอร์สตามที่ยกตัวอย่างมา แต่หากกำหนด \(f:\mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+\) จะได้ f เป็น bijection ดังนั้น โจทย์ข้อสองตอนหลังจึง make sense เมื่อ f เป็น surjection ครับ
ข้อสองตอนแรกทำได้โดยการพิจารณา \(y\in{f(A)}\ และ\ y\in{}B\backslash{}f(A)\) ตามนิยามทีละกรณี ส่วนข้อแรกเป็นผลพลอยได้จากข้อสองครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 06 ธันวาคม 2005 08:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#5
|
|||
|
|||
สำหรับคนที่ไม่เคยเรียนมาก่อน เขียนพิสูจน์ได้ขนาดนี้ก็ถือว่าเยี่ยมแล้วครับ (อย่างน้อยก็ดีกว่าผมซึ่งตอนแรกเขียนไม่เป็นเอาเลยจริงๆ)
ถ้าให้ผมพิสูจน์ข้อ 1 ก็คงทำดังนี้ เนื่องจากเราต้องการพิสูจน์ว่า \(f^{-1}(f(E))=E\) เราก็แบ่งการพิสูจน์ออกเป็น 2 ส่วนคือ พิสูจน์ว่า \(E\subseteq f^{-1}(f(E))\) และพิสูจน์ว่า \(f^{-1}(f(E))\subseteq E\) สำหรับข้อความ \(E\subseteq f^{-1}(f(E))\) นั้นเป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชันอยู่แล้ว ผมจึงขอข้ามการพิสูจน์ไป ส่วนข้อความ \(f^{-1}(f(E))\subseteq E\) อันนี้ก็คงเป็นอันที่เราต้องใช้ความจริงที่ว่า f เป็น injection นั่นเอง สำหรับการพิสูจน์การเป็น subset ก็ทำตามหลักมาตรฐานคือใช้วิธีพิสูจน์ว่า\[x\in f^{-1}(f(E))\quad\Rightarrow\quad x\in E\]ซึ่งผมก็ทำคล้ายๆกับที่คุณ rigor ทำให้ดูนั่นแหละคือ จาก \(x\in f^{-1}(f(E))\) ดังนั้น \(f(x)\in f(E)\) แสดงว่าจะต้องมี \(y\in E\) ที่ทำให้ \(f(x)=f(y)\) แต่เรารู้ว่า \(f\) injective ดังนั้น \(x=y\) นั่นคือเราจะได้ว่า \(x\in E\) ตามต้องการครับผม ป.ล. ผมว่าถ้ารามานุจันต้องโดนเขียนพิสูจน์อะไรแบบนี้ อาจไม่มีโอกาสแจ้งเกิดก็เป็นได้นะ |
#6
|
||||
|
||||
จะเข้ามาขอบทพิสูจน์ที่ formal หน่อยพอดี ขอบคุณทุกท่านสำหรับน้ำใจที่มอบให้
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $ 06 ธันวาคม 2005 21:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ rigor |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Real analysis problem | M@gpie | Calculus and Analysis | 19 | 01 มิถุนายน 2007 22:52 |
Real analysis Problem | M@gpie | Calculus and Analysis | 15 | 11 เมษายน 2006 16:14 |
โจทย์ real analysis เบื้องต้นอีกแล้วครับ เกี่ยวกับ Mathematical Induction | rigor | Calculus and Analysis | 7 | 13 มกราคม 2006 13:43 |
หลักการของการ analysis | PaoBunJin | Calculus and Analysis | 5 | 14 ตุลาคม 2005 09:01 |
Real Analysis Exam | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 04 พฤษภาคม 2005 04:52 |
|
|