ช่วยพิสูจน์หน่อย

[Faith]

กว่าผมจะพิสูจน์ได้ใช้เวลาพอสมควรเลยเชียวแหละ เพื่อนๆลองทำดูนะ
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า a ฃ b+c แล้ว a/(1+a) ฃ b/(1+b) + c/(1+c)

ถ้า a = 2 และ b = c = 1
จะได้ 2 >= 2 แต่ 2/3 < 1
ดังนั้นอสมการดังกล่าวไม่จริง

[Faith]

ขอโทษทีครับ พิมพ์โจทย์ผิด เปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย ฃ นะครับ
ถ้า a ฃ b+c แล้ว a/(1+a) ฃ b/(1+b) + c/(1+c)

[gon]

เดี๋ยวจะพิสูจน์ภายหลังนะครับว่า. ถ้า a, b, c ฮ R ⁺ แล้วอสมการจะไม่เป็นสมการ กล่าวคือ อสมการดังกล่าวจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ a = b = c = 0 เท่านั้น
a ฃb + c
\ 1 +a ฃ 1 + b + c

\	1 a + 1	ณ	1 b + c + 1
1-	1 a+1	ฃ	1-	1 b+c+1
\	a a+1	ฃ	b+c b+c+1	=	b b+c+1	+	c b+c+1	<	b b+1	+	c c+1

ซึ่งต้องเปลี่ยนเป็น < เพราะ จะเท่ากับเมื่อ b =c = 0 และสามารถพิสูจน์ได้ว่า สมการ

a a+1

=

b b+1

+

c c+1

นั้นเป็นไปไม่ได้ดังนี้ สมมติว่าถ้าเป็นไปได้ นำ ค.ร.น. มาคูณตลอดจากนั้นกระจายออกมาจะได้ว่า
(b + c - a) + 2bc + abc = 0
เห็นได้ชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้ เพราะพจน์ 2bc > 0 แน่ ๆ ในกรณีที่ b,c > 0 และ จากสมการดังกล่าวจะเห็นได้ว่าสมการจะเป็นจริงเมื่อ a = b = c = 0 เท่านั้น

[Faith]

นี่เป็นวิธีของผมนะครับ
a ฃ b+c ฎ a+ab+ac ฃ b+c+ab+ac ฎ
a(1+b+c) ฃ (b+c)(1+a) ฎ a(1+b+c)/[(1+a)(1+b+c)]ฃ (b+c)(1+a)/[(1+a)(1+b+c)] ฎ
a/(1+a) ฃ (b+c)/(1+b+c) < b/(1+b) + c/(1+c)

เอ่อ... พี่ gon ครับ ตอนผมอ่านการพิสูจน์ทั่วๆไป ในหนังสือ math analysis ถ้าเขาพิสูจน์มาถึง a ฃ b < c เขาจะสรุปว่า aฃc ทุกครั้งเลย ซึ่งผมไม่เห็นด้วยอย่างมาก จริงๆ แล้วต้องสรุปว่า a < c พี่มีความคิดเห็นอย่างไรครับ

[gon]

เห็นด้วยอย่างเลยยิ่งครับ. ยังนึกหาเหตุผลอื่นไม่ออกเหมือนกัน

ทุกปัญหามีทางแก้! เป็นความคิดที่น่าเห็นด้วย เคยมีคนพิสูจน์ว่า 'วงกลมใด ๆ ไม่สามารถนำมาสร้างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากันได้ โดยที่ไม่ใช้อุปกรณ์ที่มีสเกล' ต่อให้เป็นเทวดาก็ทำไม่ได้! พูดให้ฟังง่ายขึ้นก็คือ 'กำหนดวงกลมให้วงหนึ่ง รัศมี r แล้วให้สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากัน โดยที่ใช้อุปกรณ์ที่ไม่มีสเกล นั้น ไม่สามารถทำได้'
อยากรู้ว่ามีใครพิสูจน์ได้ว่า 'สามารถทำได้' มากกว่าที่ผมสามารถพิสูจน์ได้หรือไม่ เพราะมันจะทำให้คุณเป็นยิ่งกว่าเทวดาที่เค้าว่าซะอีก

คุณก็ลองแสดงวิธีพิสูจน์ที่คุณว่าทำได้มาก่อนสิ

ใครเรียน Abstract Algebra มาแล้วก็น่าจะพิสูจน์ได้นะ

จริงๆ แค่คูณไขว้ แล้วถึกจัดรูปนิดหน่อยจะได้ว่า
a<= b+c+bc(a+c) ซึ่งเป็นจริงเนื่องจากผลของ a<= b+c