แง ทำไม่ถูก -*-

[sinekaew]

prove that (cos\theta )^{p}\leq (cos\ptheta ) for 0 \leq \theta \leq \pi /2 and 0<p<1

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sinekaew

prove that $(cos\theta )^{p}\leq cos(p\theta )$ for $ 0 \leq \theta \leq \pi /2 $and$ 0<p<1$

เป็นอย่างนี้หรือเปล่าครับ

[sinekaew]

อิอิ ใช่แร้วคร๊า

[nooonuii]

ก่อนอื่นสังเกตว่า $p\theta \leq \theta$
เนื่องจาก sine เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง $[0,\frac{\pi}{2}]$ เราจะได้ว่า
$$\sin{p\theta}\leq\sin{\theta}$$
ทุก $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$
เนื่องจาก $p<1$ และ $0<\cos{\theta}\leq 1$ ทุก $\theta\in [0,\frac{\pi}{2})$ เราจะได้ว่า $$(\cos{\theta})^{p-1}>1$$

ให้ $f(\theta)=(\cos{\theta})^p-\cos{p\theta}$ จะได้
$f'(\theta)=p(\sin{p\theta}-\sin{\theta}(\cos{\theta})^{p-1})$

$< p(\sin{\theta}-\sin{\theta}(\cos{\theta})^{p-1})$

$=p\sin{\theta}(1-(\cos{\theta})^{p-1})$

$< 0$

ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันลดในช่วง $[0,\frac{\pi}{2})$ เราจึงได้ว่า
$f(\theta)\leq f(0)=0$ ทุกค่า $\theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$

[sinekaew]

ขอบคุณมากๆค่ะ