|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 3: Infinite Products
จงพิสูจน์ว่า\[\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}\right)=
\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2\]ป.ล. ตอนที่ผมพบเอกลักษณ์อันนี้นี่ตื่นเต้นมากครับ เพราะรู้สึกว่ามันสวยจริงๆ ตั้งใจว่าจะส่งไปลงเป็นโจทย์ในวารสารก็ยังไม่ได้ทำซักที เอามาลงที่นี่ก่อนคงไม่เป็นไรนะ 15 มกราคม 2006 02:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#2
|
|||
|
|||
คราวนี้ต้องเอาให้ได้
แยกตัวประกอบวงเล็บทางซ้ายมือ ได้ $$ 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}=\frac{(n^2-n+1)(n^2+n+1)}{n^4} $$ และวงเล็บทางขวามือได้ $$ \left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2=\frac{(n+1)^2(n^2-n+1)^2}{n^6} $$ เอกลักษณ์ที่ต้องการสมมูลกับ $$ \prod_n\frac{n^6}{n^4(n+1)^2}=\prod_n\frac{n^2-n+1}{n^2+n+1} $$ ซึ่งเป็นจริงเพราะว่าผลคูณทางซ้ายเท่ากับ 1 และผลคูณทางขวาเท่ากับ 1 เช่นกัน (เอกลักษณ์สำคัญที่ใช้คือ $$ (n+1)^2-(n+1)+1=n^2+n+1) $$ จะได้มั้ยเนี่ย 14 มกราคม 2006 12:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#4
|
|||
|
|||
จริงด้วย ต้องเป็นศูนย์สนิทครับไม่ใช่หนึ่ง ขอบคุณมากๆครับคุณ nongtum
ขออนุญาติเขียนเรียบๆใหม่นะครับ (จะได้คะแนนเต็ม ) พิสูจน์ข้างบนยังไม่ดีพอ จากที่ผมทำถ้าผมให้ $$ a_n:=\prod_k\frac{k^6}{k^4(k+1)^2}=\left(\frac{1}{2}\frac{2}{3}\cdots\frac{n}{n+1}\right)^2=\frac{1}{(n+1)^2} $$ และให้ลำดับผลคูณย่อยขวามือเรียกว่า $$ b_n:=\prod_k\frac{k^2-k+1}{k^2+k+1}=\frac{1}{n^2+n+1} $$ เอกลักษณ์ที่เราต้องการจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเราต้องได้ว่า $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1 $$ ซึ่งเป็นจริงโดยไม่มีข้อโต้แย้ง 14 มกราคม 2006 13:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#5
|
|||
|
|||
โห นึกไม่ถึงเลยครับ เอกลักษณ์นี้
อ้างอิง:
ข้าน้อยขอคารวะ
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 14 มกราคม 2006 14:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
#6
|
||||
|
||||
ยอดเลยครับ ผมพยายามจัดรุปให้เหมือนกัน อยู่นานทีเดียว แต่ไม่เป็นผลสำเร็จ
เพิ่งทราบว่ามีวิธีทดสอบแบบนี้ด้วยเหมือนกัน เป็นความรู้ทีเดียวครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#7
|
|||
|
|||
ไม่รู้เป็นเพราะผมไป hint ไว้ที่ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 5 รึเปล่าว่าข้อนี้ไม่ยาก คุณ Punk เลยหันกลับมาสอยข้อนี้อย่างรวดเร็ว หวังว่าคนอื่นๆคงไม่เสียขวัญเลิกเล่นไปซะก่อนเพราะการมาเยือนของเทพองค์นี้นะครับ
ครับสำหรับการตอบข้อ 5 นี้ ผมคงไม่มีทางเลือกอื่นเพราะคุณ Punk เขียนไว้แล้วว่า "ซึ่งเป็นจริงโดยไม่มีข้อโต้แย้ง" ดังนั้นคุณ Punk จึงรับไปเต็มๆ 5 คะแนนครับ (เขินเหมือนกันนะเนี่ยที่ต้องให้คะแนนเทพ) อ้อ...แต่ว่าถ้าเป็นผม ผมจะใช้สัญลักษณ์\[\prod_{k=1}^n\]มากกว่าที่จะใช้\[\prod_k\]ซึ่งไม่ค่อยเคลียร์นักอะครับ อ้างอิง:
ใครมีอะไรจะเพิ่มเติมอีกมั้ยครับข้อนี้ 15 มกราคม 2006 03:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#8
|
|||
|
|||
เทพเทอบอะไรกันครับ ... ไม่ใช่สุเทพเอ้ยไม่ใช่ แค่อยากช่วยให้กระทู้เดินไปได้นะครับ
แหมข้อนี้กว่าจะคิดได้ผมต้องเสีย(ทรัพยากร)กระดาษไปตั้งหลายสิบแผ่นเลยทีเดียว ก่อนหน้านี้เห็นแล้วไม่กล้าลองครับ เพราะได้ยินว่าคุณ warut จะเอาไปลงวารสารต่างประเทศ หลังจากผิดหวังอย่างแรงจากข้อ Number เลยหันมาจับข้อนี้แทนนะครับ ก็อย่างที่เทพตัวจริงบอกแหละครับ ข้อนี้น่าจะสอยได้มากกว่า ถ้ามีโจทย์สวยๆแบบนี้อีกผมก็จะลองทำแน่นอนครับ |
#9
|
|||
|
|||
สำหรับข้อนี้วิธีของผมอาศัยความจริงง่ายๆที่ว่า\[\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=
\frac{1}{2}\]และ\[\prod_{n=2}^\infty\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{2}{3}\]ซึ่งมักนำมาใช้ออกข้อสอบแข่งขันอยู่เสมอๆ อย่างเช่นในข้อ 1 ของโจทย์แข่งขันชิงถ้วยพระราชทานฯ ม.ปลาย ปี 48 ดังนั้น\[\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}\right)= 3\prod_{n=2}^\infty\left(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}\right)\]\[\large=3 \frac{\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac{1}{n^6}\right)}{\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac{1}{n^2}\right)} \]\[=6\prod_{n=2}^\infty\left(\frac{n^3-1}{n^3+1}\right)\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2 \]\[=4\prod_{n=2}^\infty\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2= \prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2\]สำหรับข้อนี้ผมมีคะแนนพิเศษอีก 2 คะแนนสำหรับผู้ที่ค้นมาได้ว่าค่าของ\[\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\]จริงๆแล้วมันเท่ากับเท่าไหร่ครับ |
#10
|
||||
|
||||
อ้างอิงจาก Mathworld จะได้ค่าที่คุณ warut ถามคือ $$\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n^3})=\frac{1}{\pi}\cosh(\frac{\pi\sqrt{3}}{2})$$ เมื่อ cosh(x) แทน hyperbolic cosine ของ x (รายละเอียดเพิ่มเติมอ่านได้จากลิงค์ครับ)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#11
|
|||
|
|||
จ๊าก...ทำไมหาได้เร็วจัง คุณ nongtum รับไปอีก 2 คะแนนตามสัญญาครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 22: Infinite Series | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 02 พฤศจิกายน 2006 05:35 |
|
|