#1
|
||||
|
||||
พหุนาม
ให้ x y เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า x+y = 2554 แล้วค่าต่ำสุดและสูงสุดของ 1/x + 1/y เท่ากับเท่าไร
|
#2
|
||||
|
||||
ต่ำสุด $\frac{2}{1277}$
มากสุด $\frac{2554}{2553}$
__________________
Fearless courage is the foundation of all success |
#3
|
||||
|
||||
$x+y=2554$
$xy=x(2554-x)=2554x-x^2$ ให้ $2554x-x^2=M$ $x^2-2554x+M=0$ สมการนี้จะมีคำตอบเมื่อค่า discriminant $\geqslant 0$ $(2554)^2-4M \geqslant 0$ $4M-(2554)^2 \leqslant 0$ $M \leqslant (1277)^2$ $M$ มีค่ามากที่สุดคือ $(1277)^2$ ซึ่งทำให้ค่า $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} $ มีค่าน้อยที่สุด ค่าน้อยที่สุดคือ $\frac{2}{1277}$ ค่ามากที่สุด ไม่น่าจะหาได้เพราะสมการ $2554x-x^2$ เป็นพาราโบลาคว่ำ หาได้แต่ค่าสูงสุด ไม่ีมีค่าต่ำสุด
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#5
|
|||
|
|||
เสน่ห์ข้อนี้น่าจะอยู่ที่วิธีแบบ "ม.ต้น" นะครับ
26 พฤษภาคม 2014 02:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Aquila |
#6
|
|||
|
|||
คิดแบบนี้ได้ไหมคะ
พิจารณาผลต่างของค่า x กับ y กรณีที่ผลต่างเป็น 0 คือ x = y , 2x = 2554 กับกรณีที่ผลต่างเป็น 2a, x กับ y เป็น x-a กับ x+a $ \frac {1}{x} + \frac {1}{x} = \frac {2}{x} = \frac {2x}{x^2} $ $ \frac {1}{x-a} + \frac {1}{x+a} = \frac {2x}{x^2-a^2} $ $ \frac {2x}{x^2} < \frac {2x}{x^2-a^2} $ $ ดังนั้น ถ้า\; x \;กับ\; y \;ยิ่งมีค่าต่างกันมาก, คือ \; a \;ยิ่งมีค่ามาก, จะทำให้ \frac {1}{x} + \frac {1}{y} ยิ่งมีค่ามาก $ $ Min : \frac {1}{1277} + \frac {1}{1277} = \frac {2}{1277} $ $ Max : \frac {1}{1} + \frac {1}{2553} = 1 \frac {1}{2553} $ 26 พฤษภาคม 2014 12:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thamma |
#7
|
||||
|
||||
ตายล่ะ คนแก่ตาไม่ดี อ่านโจทย์ไม่หมด ถ้าโจทย์กำหนดให้ $x$ เป็นจำนานเต็มบวก ดังนั้น $2554x-x^2$ มีค่ามากที่สุดเมื่อ $x$ มีค่าน้อยที่สุดคือ $1$ ได้คำตอบล่ะ คือ $2554x-x^2=2553$
ค่าสูงสุดของ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} $ คือ $\frac{2554}{2553} $
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#8
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ค่า $xy$ ที่มากที่สุด หาได้จาก $AM-GM$ ก็คือ $1227^2$ ค่า $xy$ ที่น้อยที่สุด ให้ $x>y$ ใช้ $xy > (x+1)(y-1)$ ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $xy=2553$ เกิดขึ้นเมื่อ $x=2553,y=1$ ค่าต่ำสุด $\dfrac{2}{1277}$ ค่ามากสุด $\dfrac{2554}{2553}$ |
#9
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#10
|
||||
|
||||
ขอบคุณทุกคนด้วยนะคะ
|
#11
|
|||
|
|||
AM-GM อยู่ในค่าย ส่วน Calculus เรียนตอนม.ปลายครับ
ไม่ใช่วิธีม.ต้นแน่นอน มีเชือกยาว 5108 เอามาขดเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่มากสุด น้อยสุดเป็นเท่าไร ด้านเป็นจำนวนเต็มเลยใช้วิธีประมาณนี้ได้ set จุดบนแกน $x,y$ ด้วยคู่อันดับ $(x,y)$ โดยที่ $x+y=2554$ แล้วดูพื้นที่แบบ $1*1$ ที่เพิ่มขึ้น จะได้รูปขั้นบันได หักหัวบันไดออกจะเห็นสัดส่วนของพท.ได้ไม่ยาก ปล.ไม่ต้องสนใจวิธีผมก็ได้นะ ผมว่ามันค่อนข้างปัญญาอ่อน |
#12
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากนะคะ อึ้งกับวิธีคิดเลยค่ะ ไม่นึกว่าคิดอย่างนี้ได้ด้วย
|
|
|