#1
|
||||
|
||||
Derivative
\[ \lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{5})^n =0\]
\[ f(x)=x^{x^n} \] $$ y=x^{x^n} $$ $$ \ln y =x^n\ln x $$ $$ \frac{d(\ln y)}{dx}=x^{n-1}+nx^{n-1}\ln x $$ $$ \frac{dy}{ydx}=x^{n-1}(1+n\ln x) $$ $$ f '(x)=y\big(x^{n-1}(1+n\ln x)\big) $$ $$ f '(x)=x^{ x^n+n-1}(1+n\ln x) $$ ขอบคุณทุกท่านที่ให้ความรู้ครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 06 มีนาคม 2006 22:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#2
|
||||
|
||||
หาค่าได้ครับ คำตอบคือ 0
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#3
|
|||
|
|||
ขออธิบายเพิ่มเติมนิดนึงครับ
การจะพิสูจน์ว่า $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{5})^n = 0 $ อาจทำได้ 2 แนวทางครับ 1. ใช้ squeezing theorem ที่มีใจความว่า ถ้าลำดับ $ a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} $ และ $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty} c_{n}= L $ แล้ว $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=L $ (หรือพูดแบบบ้านๆว่า ถ้า ซ้ายกับขวา ลู่เข้าหาค่าเดียวกัน ก็จะบีบ (squeeze) ให้ตัวตรงกลางลู่เข้าหาค่านั้นด้วย) เพราะ $ 5^{n} > n^{2} \quad \forall n $ ดังนั้น $ 0 < \frac{n}{5^{n}} < \frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n} $ By squeezing thoerem จะได้ $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{5})^n = 0 $ เพราะซ้ายกับขวาลู่เข้าสู่ 0 2. ใช้ Divergent theorem ก็ได้ครับ ถ้า $ \displaystyle \sum_{n=1} ^{\infty}a_{n} $ ลู่เข้า แล้ว $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} = 0 $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#4
|
|||
|
|||
ทำแบบนี้ได้มั้ยครับ
เมื่อ $n$ มากๆ $n^{1/n}\approx1$ ดังนั้น $$ n(\frac{1}{5})^n=(n^{1/n}\frac{1}{5})^n\approx(\frac{1}{5})^n\to0 $$ ทำนองเดียวกันเปลี่ยนจาก 1/5 เป็น $|c|<1$ ใดๆก็ยังจริง
__________________
INEQUALITY IS EVERYWHERE |
#5
|
||||
|
||||
ขอบคุณทุกท่านครับ
ขอถามต่อว่า ถ้าจะหาค่าสูงสุดของฟังก์ชั่น $$ F(x) = x \bigg (\frac{1}{5}\bigg )^x $$ หาได้อย่างไรครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#6
|
||||
|
||||
จาก $F'(x)=5^{-x}-x5^{-x}\ln 5$ ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเกิดขึ้นเมื่อ $F'(x)=0$ หรือ $x=1/\ln 5$ ซึ่งตรวจสอบได้ไม่ยากครับว่าเป็นค่าสูงสุด
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#7
|
||||
|
||||
$$ \frac{d(x^x)}{dx} $$
และ $$ \frac{d(x^{x^2})}{dx} $$คิดยังไงอะครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#8
|
||||
|
||||
กำหนดให้ \( y= x^x \)
วิธีที่ 1 : จะได้ว่า \( y =x^x =e^{\ln x^x}=e^{x \ln x} \) แล้วก็ทำการหาอนุพันธ์ตามปกติจะได้ \( y' = e^{x \ln x}(1+\ln x) =x^x(1+\ln x) \) วิธีที่ 2 : ใส่ ln เข้าทั้งสองข้างของฟังก์ชันจะได้ว่า \( \ln y= \ln (x^x) = xlnx \) ทำการหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้ \( \frac{y'}{y} = 1+\ln x \rightarrow y'=y(1+\ln x)=x^x(1+\ln x) \) ส่วนอีกฟังก์ชันก็ทำได้ในวิธีเดียวกันนี้คับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#9
|
||||
|
||||
จะลองทำให้ดูสักข้อนะครับ อีกข้อทำไม่ต่างกันมาก
ให้ $y=x^x$ ดังนั้น $\ln y=x\ln x$ หาอนุพันธ์จะได้ $\frac{d(\ln y)}{dx}=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1+\ln x$ นั่นคือ $\frac{dy}{dx}=y(1+\ln x)=x^x(1+\ln x)$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#10
|
||||
|
||||
$$ y=x^{x^2} $$
$$ \ln y = x^2\ln x $$ $$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}= x + 2x\ln x $$ $$ \frac{dy}{dx}= y(x+2x\ln x) $$ $$ \frac{dy}{dx}=x^{x^2}(x+2x\ln x) $$ $$ \frac{d(x^{x^2})}{dx}= x^{x^2+1}(1+2\ln x) $$ ถูกไหมครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 05 มีนาคม 2006 00:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#11
|
|||
|
|||
ถูกแล้วล่ะครับ
|
|
|