|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
integral จำกัดเขตข้อนี้ทำไงครับ
โจทย์คือ integral ตั้งแต่ 0 ถึง pi
ของ (x sinx)/(1 + (cosx)^2) ------------- อยากได้สองวิธีคือ 1) หา integral ไม่จำกัดเขตก่อน 2) จัดรูปให้เหมาะสมแล้วตอบได้เลย (เห็นเค้าบอกว่าทำได้ 2 วิธี) ช่วยหน่อยนะครับ อ่านมาถึงเรื่องนี้แล้วทำไม่ ได้ เลยไม่กล้าอ่านต่อ |
#2
|
|||
|
|||
xlover13 เรียนชั้นไหนครับ
|
#3
|
|||
|
|||
ผมจบ ม.6 แล้วครับคุณ Meijin กำลังรอผล
Ent อยู่ ตอนนี้ลองอ่าน cal ล่วงหน้าดู ก็เลยเจอปัญหาอย่างที่ว่านี่แหละครับ เอ.. ผมว่าผมเจอคุณใน dek-d.com รึเปล่าครับ (เอาเป็นว่าใครตอบได้ช่วยผมด้วย ผมอยากรู้ วิธีทำมาก ๆ เลยครับ) |
#4
|
||||
|
||||
ข้อนี้ ไม่รู้ว่าพี่ค่อนข้างจะเซ่อกว่าที่น้องแนะมาใน ข้อ 2. ว่าจัดได้ง่าย ๆ แล้วตอบเลยรึเปล่า
ตอบ 4pi / 3 (ตัวเลขที่แทนอาจคำนวณผิดได้ แต่วิธีการคิดว่าไม่ผิด) ลองมาดูวิธีที่พี่คิดนะครับ. หลักการข้อนี้ คือ ใช้ by part ล้วน ๆ แต่ที่นี้วิธีการ by part ที่ว่า คือ integrate( u dv ) = uv - integrate( v du ) นั้น เราต้องทำการอินทิเกรต 2 อย่างที่ว่าต่อไปนี้ให้แม่นยำก่อน คือ 1. integrate(cos3x) = (1/3) sin3x + C เป็นต้น 2. integrate (x sinx) dx = sinx - x cosx + C ( โดย by part เลือก u = x และ dv = x sinx dx ) เป็นต้น จะได้ตามโจทย์ว่า (x sinx)/(1 + (cosx)^2) dx เลือก u = 1 + (cos x )^2 และ dv = x sinx dx จะได้ว่ามันคือ [1+ (cos x )^2 ] [ sin x - x cosx ] - integrate[ 2 (sin x - x cos x)sin x cos x dx ] ...(1) พิจารณาตัวหลัง คือ integrate[ 2 (sin x - x cos x)sin x cos x dx ] กระจายออกมาเป็น 2 พจน์ คือ พจน์ที่ 1 . integrate [ 2 (sin x) ^2 cos x dx ] พจน์ที่ 2. integrate [ 2 x sin x (cos x)^2 dx ] พนจ์ที่ 1 จะได้ผลลัพธ์ คือ (1/2) [ sin x - (1/3) sin 3x ] ....(2) พจน์ที่ 2. by part โดยเลือก u = 2x และ dv = sin x (cos x )^2 dx จะได้ผลลัพธ์ คือ (-x/2)[cos x + (1/3) cos 3x ] - (1/2) [ sin x + (1/9) sin 3x ] ....(3) สุดท้ายแทนค่าต่าง ๆ จาก (2) และ (3) ลงไปใน (1) จะได้ ที่ต้องการ แล้วแทนค่า x = 0 ถึง pi ซึ่งจะได้เป็น 4pi/3 - 0 = 4pi / 3 note. ในแต่ละขั้นอาจต้องทำการ integrate โดย bypart อีกที โดยเฉพาะพวกที่มี x คูณอยู่ ให้เลือก u = x หรือ 2x เป็นต้น เสมอ. โจทย์ข้อนี้ตามความคิดของพี่ ผู้ที่เริ่มศึกษายังไม่ควรจะทำนะ เพราะอาจปวดหัวมากไปหน่อย. แต่อย่างที่น้องแนะมาในข้อ 2. อาจมีวิธีที่ฉลาดกว่านี้ 10 เท่า ก็ได้ครับ. |
#5
|
|||
|
|||
พี่กรครับ ขอบคุณมากที่แสดงให้ดู
คำตอบในหนังสือที่ผมดูเค้าบอกว่าตอบ (pi^2)/4 น่ะครับ งั้นผมถามอีกข้อได้มั้ยครับ --------------------- อินทิเกรต (x^2 - 2x + 4)^(-3/2) ตั้งแต่ 1 ถึง 2 *** เห็นที่เค้าแนะนำคือ ให้ x-1 = sqrt(3)*tan u **** ที่จะถามพี่ก็คือ มีวิธีง่ายกว่านี้ มั้ยครับ เพราะอยู่ ๆ ผมก็คงคิดไม่ออกหรอกว่า ต้องให้อันนู้นเท่ากับอันนี้ ใครจะไปคิดถึง ล่ะครับว่าต้องให้เท่ากับ sqrt(3)* tan u มันเหนือจินตนาการมากเลย คิดไม่ออกครับ ขอบคุณครับพี่ |
#6
|
|||
|
|||
อ้อ! พี่กรครับ ข้อที่ผมถามไว้ครั้งแรก
น่ะ มันหารกันนะครับ ที่พี่ทำรู้สึกว่ามัน จะคูณกัน ----- ขอบคุณครับ |
#7
|
|||
|
|||
อืม. ดูผิดไปจริง ๆ ครับ. โจทย์มันหารกันนี่นะ
เดี๋ยวว่าง ๆ จะลองทำดูอีกที แต่พี่ว่ามันก็คงไม่ทำเสร็จกันในอึดใจหรอก คงไม่ต่ำกว่าหน้านึงน่ะล่ะนะ การเปลี่ยนตัวแปรตรีโกณมันมี 3 รูปแบบ ครับ คือ sin , sec , tan แต่พี่จะบอกแค่ 2 รูปแบบ พอ เพราะถ้าน้องดูเข้าใจได้มันก็ไม่ต้องจำ คือลองมั่ว ๆ ดู แล้วเขียนสามเหลี่ยมมุมฉาก ว่าได้ค่าด้านที่เรามีอยู่ออกมาจริงใหม. 1.รูป a^2 + b^2 x^2 อย่างนี้เราจะสมมติให้ ax = b tan z 2.รูป a^2 - b^2 x^2 อย่างนี้เราจะสมมติให้ ax = b sec z ส่วน sin นั้นมันจะสลับกับ sec ลองคิดดูละกัน ตัวอย่าง. integrate(dx / 9 + 16x^2 ) ..........................# 1.ให้ 4x = 3 tan z ดังนั้น tan z = 4x / 3 แล้ววาดสามเกลี่ยมมุมฉากขึ้นมา ใส่ทุกด้านให้ครบ 2. จากโจทย์ สังเกตว่าเราจะแบ่งค่าออกเป็น 2 ชุด ที่จะเปลี่ยน คือ dx กับ 9 + 16x^2 3. จากข้อ 1. diff ซะ จะได้ dx = (3/4) (sec^2 z) dz ............(3.1) จากสามเหลี่ยมมุมฉากในข้อ 2. เราจะพบว่า sqrt [ (9 + 16x^2 ) ] / 3 = sec z ดังนั้น 9 + 16x^2 = 9 sec^2 z .............(3.2) 4. แทน (3.1) , (3.2) ลงใน # จะได้ว่า integrate(dx / 9 + 16x^2 ) = (3/4)(sec^2 z dz) / 9 sec^2 z = (1/12) dz ...............(4) ดังนั้นเราต้องทำการ integrate (1/12) dz ซึ่งได้ (1/12) z + C แต่ ข้อ 1. 4x = 3 tan z ดังนั้น z = arctan(4x/3) ซึ่งแทนค่าลงไปจะได้ (1/12) arctan (4x/3) + C ครับ. อย่างข้อที่น้องว่ามา ก็แค่จัดรูป เป็น + sqrt(3)]^2+ (x-1)^2 จึงสมมติให้ x - 1 = [sqrt(3)] tan z ไงครับ. น้องอ่านหนังสือ ควรเลือกที่มันเขียนง่าย ๆ ก่อนซิครับ. มันมีอยู่เล่มนึง ออกมานานแล้ว พี่อ่านตอนอยู่ ม.ปลายรู้เรื่องทีเดียว พี่เลย diff + integrtate พวกแคลทุกรูบแบบเป็นแต่ ม. ปลาย มาเรียนแคล I ที่ จุฬานี่แทบไม่อ่านเพิ่มเลย เขียนได้ง่าย ๆ มาก ๆ เลย คือ เน้นทำได้ก่อน จริง ๆ เขาเลิกพิมพ์ขายไปนานแล้ว แต่หลายวันก่อนพี่เห็นตามร้านหนังสือที่ไหนซักแห่งนี่ล่ะแถว ๆ จุฬา นี่ล่ะ หน้าปกมันจะเป็นรูปกราฟ 3 มิติ แบบตาข่าย ถ้าจำไม่ผิดนะ ปกออกสีเหลืองปนเขียว แต่ที่เห็นอันใหม่รู้สึกจะเป็นออกสีฟ้าอ่อนนะครับ |
#8
|
|||
|
|||
แคลปีหนึ่งเรียนเกี่ยวกับอะไรบ้างครับ
ที่พี่เคยบอกในกระทู้ก่อน ๆ คือ diff กับ integrate แล้วมีอย่างอื่นอีก มั้ยครับ แล้วมันจะถึงเรื่องอนุพันธ์ย่อย เวกเตอร์กับอินทิเกรตหลายชั้นมั้ยครับ ถ้าเป็นไปได้อยากรู้ว่าปีไหน cal เรียน อะไร เพราะผมได้เข้าไปที่ web ของวิศวะจุฬา ผมไม่เจอรหัสวิชาที่เป็น cal เลยครับ -------- ที่พี่บอกมาเรื่อง sin sec tan ผมพอจะเข้า ใจแล้วล่ะครับ เมื่อกี้ลองไปทำโจทย์ข้อแนว นี้ดูก็ทำได้แล้วล่ะครับ ขอบคุณมากครับ ดีใจมากครับที่มีคนทำ web ดี ๆ แบบนี้ ช่วย เหลือเด็กธรรมดา ๆ อย่างผมได้เสมอ |
#9
|
||||
|
||||
อืม. มันก็มีหลายเรื่องนะครับ.
ไม่ใช่แค่ diff กับ อินทิเกรตอย่างเดียวหรอก รายละเอียดลึก ๆพี่จำไม่ได้ครับ. แต่ diff กับ อินทิเกรตทุกรูปแบบมันต้องแม่นก่อน. น้องเอาให้แม่นเปรี๊ยะไปเลยครับ. จะได้ฉลุย เพราะเดี๋ยวจะไปเรียนเรื่องอื่นต่อไม่ได้ แน่นอนว่าเรื่อง partial diff หรือ อินทิเกรตหลายชั้น มันมีอยู่แน่ ๆ เพียงแต่พี่จำไม่ได้ว่ามันอยู่แคลไหนครับ น้องไปต้องไปแคร์ว่าอะไรเรียนปีไหนหรอกครับ. แป๊บเดียวเดี๋ยวก็ได้เรียน ไม่ต้องกลัวลืมหรอก อ่านมันเยอะ ๆ รับรู้ให้มากที่สุดเท่าที่น้องจะรับรู้ได้ล่ะครับ. เพราะตอนเรียนจริง ๆ มันเร็วกว่า มัธยม 3 - 4 เท่าเชียวนะครับ. อ่านกันแทบไม่ทัน ทั้งที่เวลาว่างก็เยอะ เรียนก็แค่เทอมละ 7 - 8 ตัวเอง แต่จะให้ชัวร์ก็ไปดูหนังสือแคลของคณะวิทยาศาสตร์ ที่ศูนย์หนังสือจุฬา ซิครับ. พวกแคลตอนนี้พี่ไม่ค่อยได้แตะครับ. จะเน้นไปทาง discrete math อยู่ เพราะรู้สึกว่ามันหนุกกว่าพวกแคลเยอะเลย. มีเรื่องอ่านแล้วปวดหัวไม่เข้าใจง่าย ๆ เยอะเลย ไม่เหมือนแคลที่อ่านเมื่อไรก็เข้าใจทันทีเมื่อนั้น |
#10
|
|||
|
|||
discrete คืออะไรเหรอครับ แล้วมันสนุกยังไงครับ
|
#11
|
||||
|
||||
1. ให้ u = x และ dv = (sinx) / ( 1 + cos^x) dx
du = dx และ v = integrate( sin x / ( 1 + cos^x) d (cosx) / -sinx = -arctan( cos x ) 2. โดย By part จะได้ โจทย์ = -x arctanx + integrate( arctan (cosx) dx ) ******* 3. ทีนี้มาพิจารณา function y = arctan x เรายังคงจำกันได้ว่า ฟังก์ชันคู่ คือ f(-x) = f(x) ฟังก์ชันคี่ คือ f(-x) = - f(x) จะพบว่า f(x) = acrtan x f(-x) = arctan(-x) = - arctan x จึงเป็น ฟังก์ชัน คี่ 4. ในแง่ของการอินทิเกรต เราจะนิยามว่า f(x) เป็นฟังก์ชันคู่ ก็ต่อเมื่อ integrate จำกัดเขตตั้งแต่ -a ถึง a ของ f(x) dx จะ = 2 integrate จำกัดเขตตั้งแต่ 0 ถึง a ของ f(x) dx f(x) เป็นฟังก์ชันคี่ ก็ต่อเมื่อ integrate จำกัดเขตตั้งแต่ -a ถึง a ของ f(x) dx จะ = 0 5. จากโจทย์ เมื่อ เรา อินทิเกรตจาก x = 0 ถึง pi จะได้ว่า cos x มีค่า ตั้งแต่ -1 ถึง 1 นั่นเอง ดังนั้น integrate( arctan (cosx) dx ) จึงมีค่า = 0 นั่นเอง 6. แทนค่า ลงในข้อ 2. จึงได้ = [ - ( pi)(-pi/4) ] - [ 0 ] = pi^2 / 4 ......Ans |
#12
|
||||
|
||||
discrete math
ก็ คือ คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง เช่น Number Theory, Combinatoric , Graph Theory เป็นต้น. สนุกยังไง หรือ ครับ. มันมีปัญหาให้ปวดหัวเยอะดีครับ. จะเอาซักหลาย ๆ เรื่องใหมล่ะครับ สนุกว่า แคลหรือพวกอื่น ๆ เยอะเลย |
#13
|
|||
|
|||
แต่ผมว่า แคล สนุกสุดแล้วนะ ตั้งแต่อ่านของมหาลัยที่ห้องสมุดโรงเรียนมีให้อ่าน(ขณะนี้ม.4) แคลนี่แหละ รู้เรื่องมากที่สุด
__________________
การกลายพันธุ์: เมื่อเอาปี 2542 เป็นปีฐาน พบว่า ข้อสอบคณิต 1 ปัจจุบัน ยากราวกับ สมาคมคณิตศาสตร์ ปี 42 ข้อสอบคณิต 2 ปัจจุบัน ยากราวกับ ข้อสอบคณิต 1 ปี 42 ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ปัจจุบัน ยากราวกับข้อสอบโอลิมปิกไทย ปี 42 อนาคต คณิต 1 จะกลายเป็นโอลิมปิก คณิต 2 จะกลายเป็นสมาคมฯ แล้วทีนี้ ข้อสอบโอลิมปิกไทย จะกลายเป็น IMO มั้ยล่ะเนี่ย |
#14
|
|||
|
|||
Int[x = 0 -> x = Pi, x sin x / (1+cos2x)] แยกช่วงเป็น 0 -> Pi/2 และ Pi/2 -> Pi
จากคุณสมบัติของ sin x และ cos x สิ่งที่ต้องการจะเท่ากับ Int[x = 0 -> x = Pi/2, x sin x / (1+cos2x)] + Int[x = 0 -> x = Pi/2, (Pi - x) sin x / (1+cos2x)] = Int[x = 0 -> x = Pi/2, Pi sin x / (1+cos2x)] = Pi2/4 |
#15
|
||||
|
||||
นั่นไงมาแล้ววิธีทำ
มันต้องอย่างนี้ซิครับ ค่อยสมเป็นเว็บ Math หน่อย. ทบ. ไม่มีปัญหาคณิตศาสตร์ใดที่ไม่ได้รับการแก้ที่บอร์ดแห่งนี้ (ถ้าเป็นปัญหาที่มีผู้แก้ออกแล้ว) เออ.ใช่ พี่ก็อ่านแคลประมาณ. ม.4 มั้ง ก็เพราะมันง่ายกว่าเรื่องอื่น ๆ ไง อ่านแล้วรู้เรื่อง ว่าแต่ลงลึกไปจริง ๆ ก็ยากนะ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
โจทย์ Integral ค่ะ ช่วยคิดทีนะๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ | Ding Dong | Calculus and Analysis | 7 | 25 กรกฎาคม 2006 15:23 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 17: Definite Integral | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 10 | 25 เมษายน 2006 19:59 |
complex integral ครับ | Counter Striker | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 19 เมษายน 2005 15:27 |
Integral | M@gpie | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 4 | 01 กุมภาพันธ์ 2005 01:42 |
|
|