|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยหน่อยครับ พหุนาม !
$กำหนดให้ a+b+c=0 ถ้าสามารถเขียนนิพจน์ a^{5}+b^{5}+c^{5} ได้ในรูป kabc(a^2+b^2+c^2) แล้วค่า k เท่ากับเท่าไหร่$
|
#2
|
||||
|
||||
ผมได้ $ k= \frac{5}{2} $
ใช้แทนค่าเอาคับ a=2 b= -1 c= -1 ลงในสมการ 14 ตุลาคม 2010 23:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ math Evil |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$(a+b) = -c ...(1)$ $(a+b)^5 = (-c)^5$ $a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 = -c^5$ $a^5+b^5+c^5+5ab(a^3+b^3)+10a^2b^2(a+b) = 0$ $a^5+b^5+c^5+5ab(a+b)(a^2-ab+b^2+2ab)=0$ $a^5+b^5+c^5+5ab(a+b)(a^2+b^2+ab)=0 ...(2)$ จากสมการ (1) จะได้ $a+b=-c$ และ $ab = \frac{c^2-b^2-a^2}{2}$ แทนลงในสมการ (1) จะได้ $a^5+b^5+c^5+5ab(-c)(a^2+b^2+\frac{c^2-b^2-a^2}{2}) = 0$ $a^5+b^5+c^5 = \frac{5}{2}abc(a^2+b^2+c^2)$ |
#4
|
||||
|
||||
ครับๆ ขอบคุณมากครับ
|
#5
|
||||
|
||||
อีกวิธีหนึ่ง...ผมขี้เกียจจำสามเหลี่ยมปาสกาล
$a+b+c=0$ $(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) = 0$ $a^2+b^2+c^2 =-2(ab+ac+bc) = -2abc( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ $abc( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) = \frac{(a^2+b^2+c^2)}{-2} $ $(a+b+c)^3= a^3+b^3+c^3+3abc(a+b+c)( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3abc = 0$ $a^3+b^3+c^3=3abc$ $(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)= a^5+b^5+c^5+(abc)^2\left\{\,(a+b+c)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\right\}- (abc)^2\left\{\,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right\}$ $3abc\left\{\,a^2+b^2+c^2\right\} = a^5+b^5+c^5+\frac{abc}{2} \left\{\,a^2+b^2+c^2\right\} $ $a^5+b^5+c^5 = \frac{5}{2}abc \left\{\,a^2+b^2+c^2\right\} $ $k = \frac{5}{2}$ อีกวิธีหนึ่งที่น้องเนสได้เฉลยไว้ในกระทู้ตะลุยโจทย์ม.ต้น อ้างอิง:
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#6
|
|||
|
|||
อีกวิธีซึ่งเป็นวิธีการทั่วไปในการหาความสัมพันธ์พวกนี้คือการใช้สูตรลดทอนของนิวตัน
$a^n+b^n+c^n=(a+b+c)(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})-(ab+bc+ca)(a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2})+abc(a^{n-3}+b^{n-3}+c^{n-3})$ ดังนั้น $a^5+b^5+c^5=(a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2)$ $~~~~~~~~~~~~~~~=-(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2)$ $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)(a+b+c)+abc(1+1+1)$ $~~~~~~~~~~~~~~~=3abc$ ที่เหลือก็แค่หา $ab+bc+ca$ แต่ $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$ $~~~~~~~~~~~~~~~=-2(ab+bc+ca)$ ดังนั้น $a^5+b^5+c^5=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)(3abc)+abc(a^2+b^2+c^2)$ $~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{5}{2}abc(a^2+b^2+c^2)$ สูตรสวยๆสำหรับโจทย์ข้อนี้ที่ผมจำไว้คือรูปนี้ $\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=\Big(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\Big)\Big(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\Big)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับคุณNOOONUII....ผมได้ความรู้เรื่องสูตรลดทอนของนิวตันเพิ่มครับ
เพิ่งรู้จักวันนี้เองครับ สูตรนี้น่าสนใจครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#8
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ
__________________
### Don't stop beliving to make Your dream come true. ### 18 ตุลาคม 2010 18:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PGMwindow |
|
|