|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Topology again!!!!
Let $(X,d)$ be a compact metric space and let $f\ :\ X\rightarrow\ X$ be a function such that for all $x,\ y \in X$ such that $x\neq y\ ;\ d(f(x),f(y)) < d(x,y)$
show that 1. there is at most one element $a\in X$ such that $f(a) = a$. 2. $f$ is continuous. 3. consider the map $\phi : X \rightarrow \Re^+$ defined by $\phi (x) = d(x,f(x))$. show that there is an $x_0 \in X$ such that $\phi (x) = \inf\{\phi (x) : x\in X\}$ 4. $f$ has a unique fixed point. 5. give an example of a compact metric space $X$ and a $f : X\rightarrow X$ which satisfies the hypothesis but which is not contraction. 20 มิถุนายน 2007 23:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: Double post merged and syntax edited |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
2. Using $ \epsilon - \delta $ definition of continuity and let $ \delta = \epsilon $. In fact, f is uniformly continuous too. 3. At first, you should prove that $ \phi(x) $ is continuous by simply using $ \epsilon - \delta $ definition and $ \phi(x)- \phi(y) \leq d(x,y)+d(f(x),f(y)) $ . Since $ \phi(x)$ is continuous on compact metric space, it attains minimum say $x_0$ 1. Use (3) to show that it must have fixed point. By contradiction , If $ x_0 \neq f(x_0) $ , consider $d(f(x_0),f(f(x_0)) $ to derive contradiction. 4. Use contradiction and hypothesis of f p.s. ขอโทษที่ไม่ไ่ด้อธิบายละเอียดนะครับ ช่วงนี้ผมมีเวลาค่อนข้างจำกัด
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#3
|
|||
|
|||
ปัญหานี้ผมเคยพิสูจน์ไว้แบบเต็มๆในวิทยานิพนธ์ของผมเองครับ ถ้าสนใจก็ลองค้นในห้องสมุดคณิตศาสตร์จุฬาฯ หรือไม่ก็ที่หอกลางครับ
ชื่อวิทยานิพนธ์ The Fixed Point Set and the Convergence Set of a Continuous Function แต่ถ้าอยากได้บทพิสูจน์ที่เป็นต้นแบบก็ลองค้นจากหนังสือ An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory by Mohamed A. Khamsi and William A. Kirk ที่ห้องสมุดคณิตศาสตร์จุฬาฯมีครับ ถ้าผมจำไม่ผิดเล่มนี้มีตัวอย่างสำหรับข้อ 5 ด้วยครับ ผมจำไม่ได้แล้วว่าหน้าตาฟังก์ชันเป็นยังไง แต่จำได้ว่าพิสูจน์โดย Mean Value Theorem ผมเองก็พยายามสร้างฟังก์ชันอยู่เหมือนกัน เดี๋ยวคิดออกแล้วจะมาบอกครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
|||
|
|||
มันเป็นการบ้านเด็กปี 1(econ)เองอะครับ ผมเคยเรียนแต่ไม่ยากเท่านี้เหมือนกัน ไม่รู้จะตอบน้องยังไงดีเลย
|
#5
|
||||
|
||||
เด็ก Econ ต้องเรียน Topology ด้วยเหรอครับเนี่ย ตกใจ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 21 มิถุนายน 2007 15:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#6
|
|||
|
|||
เพราะงั้นถึงต้องเรียนถามเหล่าผู้อาวุโสไงครับ ไม่งั้นตายแน่
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ช่วยพิสูจน์ ทฤษฎีบท เกี่ยวกับ topology ด้วยนะคะ | konkoonJAi | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 14 | 11 มิถุนายน 2007 10:04 |
ช่วยพิสูจน์เกี่ยวกับ วิชา topology ด้วยนะคะ | konkoonJAi | Calculus and Analysis | 4 | 07 มิถุนายน 2007 09:28 |
topology 2 | chaitung | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 08 มกราคม 2007 03:00 |
topology | chaitung | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 1 | 07 มกราคม 2007 17:25 |
topology เกี่ยวกับเซตปิด | chaitung | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 10 พฤศจิกายน 2006 00:27 |
|
|