|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์ real analysis เบื้องต้นอีกแล้วครับ เกี่ยวกับ Mathematical Induction
ขอความกรุณาท่านผู้รู้ช่วยเขียนพิสูจน์แบบฝึกหัดข้อนี้ให้ด้วยครับ
Let S be a subset of N such that (a) 2k ฮ S for all k ฮ N, and (b) if k ฮ S and k ณ 2, then k-1 ฮ S. Prove that S = N. ผมลองเริ่มจาก (a) ได้ว่า P(2) เป็นจริง จากนั้นด้วย (b) ได้ว่า P(1) เป็นจริงด้วย จากนั้นก็ใบ้กินครับ มันวิ่งถอยหลังแบบนี้แล้วทำอะไรไม่ถูกเลย ระยะนี้จะมีคำถามแบบนี้บ่อยๆ เกรงใจเหมือนกันนะคับ กำลังจะสั่งซื้อ Instructor's manual อยู่แล้ว ยังไงช่วงนี้ขอรบกวนสักพักนะคับ - -a ขอบคุณครับ
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $ |
#2
|
|||
|
|||
ตอนนี้ ยังคิดแบบ induction ไม่ออก เอาแบบนี้ไปก่อนนะครับ
เนื่องจาก Sฬ N เป็นจริงจากโจทย์อยู่แล้ว ดังนั้น ถ้าจะพิสูจน์ S= N จึงเหลือเพียงแสดงว่า Nฬ S Let aฮ N ถ้า a=2k สำหรับบางค่า kฮN เมื่อ apply (a) จะได้ aฮS ตามต้องการ ส่วนกรณีที่ a เขียนเป็น 2k ไม่ได้ พบว่า (i) 1ฮS เนื่องจาก 21ฮS และapply (b) (ii) เพราะ มีจำนวนนับ m ซึ่ง 2m <a<2m+1 เสมอ ทำให้ a เขียนได้ในรูปใดรูปหนึ่งจาก { 2m+1,2m+2,...,2m+1-1} จาก 2m+1ฮS (เพราะ (a)) และจาก (b) จะได้ 2m+1-1ฮS ด้วย หลังจากนั้นก็ apply (b) กับสมาชิกที่เหลือในเซตด้วยเหตุผลทำนองเดียวกัน ก็จะพบว่าทุกสมาชิกในเซตดังกล่าวอยู่ใน S หรือ aฮS
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#3
|
||||
|
||||
กระจ่างแล้วครับ ขอบคุณมากๆๆครับ
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $ |
#4
|
||||
|
||||
จริง ๆ ที่ passer-by ทำมาก็คือ Mathematical Induction นั่นเอง ลองสังเกตดี ๆ จะพบว่า passer-by พิจารณา P(n) แทนข้อความ n เป็นสมาชิกของ S ครับ
|
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เนื่องจากเราต้องการพิสูจน์สิ่งที่เป็นพื้นฐานระดับนี้ การพิสูจน์ให้ rigorous คงต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษ ถ้าใช้ intuition อย่างเดียวอาจผิดได้ครับ ลองนึกถึงภาพว่าถ้าเราต้องการพิสูจน์ว่า Principle of Mathematical Induction เป็นจริงก็ไม่ใช่ง่ายๆ เพราะเราเห็นจะๆอยู่แล้วว่ามันเป็นจริง (ตามแบบการล้มของโดมิโน) เราถึงต้องไปลากเอาพวก Well-Ordering Principle มาช่วยพิสูจน์ครับ การพิสูจน์ต่อไปนี้ผมคิดขึ้นเองจึงคงไม่ใช่อันที่ดีที่สุดหรืออันที่เป็นมาตรฐาน แต่ผมก็ค่อนข้างมั่นใจว่า rigorous ยังไงก็ตามขอให้ผู้รู้มาช่วยให้ความกระจ่างด้วยจะดีที่สุด (อย่าเอาแต่อ่านแล้วยิ้มเยาะ - ใครทำงั้นขอให้จู๊ดๆเลย ) พิสูจน์ เริ่มจากการใช้ induction ธรรมดาพิสูจน์ว่า \(2^n>n\) สำหรับทุก \(n\in\mathbb N\) ซึ่งเดี๋ยวเราจะต้องใช้ความจริงอันนี้ครับ ต่อไปเป็นการพิสูจน์ข้อความหลักโดยใช้ contradiction ถ้า \(S\ne\mathbb N\) ดังนั้นจาก Well-Ordering Principle เราจะได้ว่า \(A:=\mathbb N\setminus S\) จะต้องมีสมาชิกที่น้อยที่สุด สมมติให้เป็น \(m\) ให้สังเกตว่าข้อความ (b) ซึ่งก็คือ\[สำหรับ\;k\ge2,\quad k\in S\quad\Rightarrow \quad k-1\in S\]สมมูลกับ\[สำหรับ\;k\ge2,\quad k-1\not\in S\quad \Rightarrow\quad k\not\in S\]และสมมูลกับ\[สำหรับ\;n\ge1,\quad n\not\in S\quad\Rightarrow\quad n+1\not\in S\]ซึ่งสมมูลกับ\[ สำหรับ\;n\ge1,\quad n\in A\quad\Rightarrow\quad n+1\in A\](ตรงนี้ทำละเอียดหน่อย เผื่ออาจมีใครงงครับ) จากที่เรารู้ว่า \(m\in A\) และ \(n\in A\Rightarrow n+1\in A\) ดังนั้นโดย induction เราจึงได้ว่า\[m,m+1,m+2,\dots\in A\]นั่นคือ \(n\in A\) สำหรับทุก \(n\ge m\) ดังนั้นจาก \(2^m>m\) เราจึงได้ว่า \(2^m\in A=\mathbb N\setminus S\) ด้วย ทำให้เกิดข้อขัดแย้งกับข้อความ (a) ที่ว่า \(2^m\in S\) เราจึงสรุปได้ว่าจริงๆแล้ว \(S=\mathbb N\) ครับ 20 ธันวาคม 2005 10:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#6
|
|||
|
|||
Backward induction ใช้ในการพิสูจน์อสมการ AM-GM ครับ หาอ่านวิธีพิสูจน์แบบนี้ได้จากบทความ
" Inequalities " เขียนโดย Richard Bellman อยู่ในวารสาร Mathematics Magazine เล่มที่ 28 ปี 1954-55 หน้า 21-26
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
|||
|
|||
โอ้โห...ข้อมูลแน่นปึ๊กจริงๆ ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii
|
#8
|
||||
|
||||
บังเอิญแวะกลับมาอ่านครับ ได้รู้อะไรเพิ่มอีกแล้ว ขอบคุณมากครับ รักที่นี่จังเลย
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Real analysis problem | M@gpie | Calculus and Analysis | 19 | 01 มิถุนายน 2007 22:52 |
ช่วยทำข้อสอบ analysisของจุฬาให้หน่อยครับ | mayalone | Calculus and Analysis | 6 | 28 กันยายน 2006 06:43 |
Real analysis Problem | M@gpie | Calculus and Analysis | 15 | 11 เมษายน 2006 16:14 |
โจทย์ real analysis เบื้องต้นรบกวนด้วยครับ | rigor | Calculus and Analysis | 5 | 06 ธันวาคม 2005 21:16 |
Real Analysis Exam | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 04 พฤษภาคม 2005 04:52 |
|
|