|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์อสมการ สอวน.ค่าย1 ปีล่าสุด
ข้อนี้ คิดยังไงก็คิดไม่ออกอะค่ะ ทำ backward แล้วเครื่องหมายกลับข้างทุกที วานพี่ๆช่วยพิสูจน์หน่อยค่ะ
กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก $x_1,x_2,...x_n$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $x_1x_2...x_n=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leqslant 1$$
__________________
ทุกสิ่งทุกอย่างล้วน สุขเศร้า มันย่อมเกิดกับเรา อย่าท้อ คะแนนง่อยค่อยบรรเทา เริ่มใหม่ ทำโจทย์หลายหลายข้อ พรุ่งนี้ต้องดีกว่า กลอนอาจจะดูแปลกๆ แต่มันก็ให้กำลังใจดีนะ |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
โดยอสมการโคชี $$(\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n})((n-1+x_1)+(n-1+x_2)+...+(n-1+x_n))\geq (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n})^2$$ ดังนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า$$ (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n})^2\geq ((n-1+x_1)+(n-1+x_2)+...+(n-1+x_n))$$ กระจายออกมา สมมูลกับ $$x_1+x_2+...+x_n+2\sum_{1\leq i < j\leq n}{\sqrt{x_ix_j}}\geq n(n-1)+(x_1+x_2+...+x_n)$$ สมมูลกับ $$2\sum_{1\leq i < j\leq n}{\sqrt{x_ix_j}}\geq n(n-1)$$ ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ A.M-G.M QED
__________________
Zenith 7 & เอื้อมพระเกี้ยว 4 by TU Gifted Math #10 หนังสือดีๆจากนักเรียนในโครงการพัฒนาความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ รุ่นที่ 10 โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา 31 ตุลาคม 2012 01:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TU Gifted Math#10 เหตุผล: typo fixed |
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณค่ะ แต่...ตอนสุดท้าย เครื่องหมายกลับข้างหรือเปล่าคะ??
__________________
ทุกสิ่งทุกอย่างล้วน สุขเศร้า มันย่อมเกิดกับเรา อย่าท้อ คะแนนง่อยค่อยบรรเทา เริ่มใหม่ ทำโจทย์หลายหลายข้อ พรุ่งนี้ต้องดีกว่า กลอนอาจจะดูแปลกๆ แต่มันก็ให้กำลังใจดีนะ |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
บทพิสูจน์ที่เขียนมา สำหรับ $\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\geq 1$ ใช่ไหมครับ ผมไม่เข้าใจว่ามันช่วยในการพิสูจน์ $\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$ ได้ยังไง อสมการ $\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$ สมมูลกับอสมการ $\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}+\frac{n-2}{n-1+x_1}+\frac{n-2}{n-1+x_2}+...+\frac{n-2}{n-1+x_n}\geq n-1$
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#5
|
||||
|
||||
$$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$$ $$\leftrightarrow \frac{n-1}{n-1+x_1}+\frac{n-1}{n-1+x_2}+...+\frac{n-1}{n-1+x_n}\leq n-1$$ $$\leftrightarrow (1- \frac{n-1}{n-1+x_1})+(1-\frac{n-1}{n-1+x_2})+...+(1-\frac{n-1}{n-1+x_n})\geq n-(n-1)$$ $$\leftrightarrow \frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\geq 1$$
__________________
Zenith 7 & เอื้อมพระเกี้ยว 4 by TU Gifted Math #10 หนังสือดีๆจากนักเรียนในโครงการพัฒนาความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ รุ่นที่ 10 โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา 31 ตุลาคม 2012 01:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TU Gifted Math#10 |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#7
|
||||
|
||||
สุดยอดครับ เคลียด้วยคน
|
#8
|
||||
|
||||
ขอเสนออีกวิธีครับ
$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$ จาก AM-HM $\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq \frac{n^2}{n^2-n+(x_1+...+x_n)} $ จาก AM-GM $\frac{n^2}{n^2-n+(x_1+...+x_n)}\leq\frac{n^2}{n^2-n+n}=1 $
__________________
"Végre nem butulok tovább" ("ในที่สุด ข้าพเจ้าก็ไม่เขลาลงอีกต่อไป") |
#9
|
|||
|
|||
อสมการกลับข้างครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#10
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากๆค่ะ
__________________
ทุกสิ่งทุกอย่างล้วน สุขเศร้า มันย่อมเกิดกับเรา อย่าท้อ คะแนนง่อยค่อยบรรเทา เริ่มใหม่ ทำโจทย์หลายหลายข้อ พรุ่งนี้ต้องดีกว่า กลอนอาจจะดูแปลกๆ แต่มันก็ให้กำลังใจดีนะ |
#11
|
||||
|
||||
ไม่เสียดายที่ทำข้อนี้ไม่ได้ 555+ (เพราะอ่านเฉลยรอบแรกแล้วยังไม่เข้าใจ)
__________________
You may face some difficulties in your ways But its Good right ? |
#12
|
||||
|
||||
1.ให้$\Delta ABC$ is a right triangle. Show that $R\geqslant (1+\sqrt{2})r$
2.$x,y,z>0$ Show that $\frac{x^8+y^8+z^8}{(xyz)^3}\geqslant \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
__________________
WHAT MAN BELIEVES MAN CAN ACHIEVE 23 พฤศจิกายน 2012 18:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tonklaZolo เหตุผล: ขอโทษทีครับ พิมพ์ผิด TT |
#13
|
||||
|
||||
ข้อสองก่อนข้อแรกเดี๋ยวไปวาดรูป )
คิดว่า $x,y,z>0$ เหมือนกรณีเป็นลบจะไม่เป็นจริง โดยอสมการ Holder $(\dfrac{x^5}{y^3z^3}+\dfrac{y^5}{z^3x^3}+\dfrac{z^5}{x^3y^3})^2(\dfrac{y^5}{z^3x^3}+\dfrac{z^5}{x^3y^3}+\dfrac{x^5}{y^3z^3})^3( \dfrac{z^5}{x^3y^3}+\dfrac{x^5}{y^3z^3}+\dfrac{y^5}{z^3x^3})^3 \ge (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})^8$ $\dfrac{x^5}{y^3z^3}+\dfrac{y^5}{z^3x^3}+\dfrac{z^5}{x^3y^3} \ge \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ หมายเหตุ ข้อนี้ใช้ cauchy หรือ weight AM-GM ก็ได้
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#14
|
||||
|
||||
$r$ เป็นรัศมีวงกลมแนบใน, $R$ เป็นรัศมีวงกลมล้อมรอบ จากรูป $A,B,C$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุม $A$ เป็นมุมฉาก ให้มุม $B$ มีขนาด $x$ $I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน ลากเส้นตรงจากจุด $I$ มาตั้งฉาก $AB$ ที่ $F$ $D$ เป็นจุดปลายส่วนสูงซึ่งลากจาก $A$ $E$ เป็นจุดที่เส้นแบ่งครึ่งมุม $A$ ตัดกับ $BC$ จะได้ $I$ อยู่บน $AE$ ด้วย $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของของเส้นตรง $BC$ จากการไล่มุม $\angle DAM=|90-2x|$ $\angle EAM=|45-x|$ $\angle DAM\ge\angle EAM$ $\therefore AM \ge AE$ $R=AM$ $\ge AE$ $= AI+IE$ $\ge AI+IF$ $=(\sqrt{2}+1)r$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#15
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จะต้องพิสูจน์ว่า $x^8+y^8+z^8\geq xy+yz+zx$ แต่ $x^8+y^8+z^8 \geq x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|