|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ
อสมการข้อนี้อะครับผมทำแล้วมานไม่ออก
1.จงพิสูจน์ว่า $(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2$ 20 ธันวาคม 2008 10:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คณิตศาสตร์ |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2$----------------(1) $a^6-a^2b^4-a^4b^2+b^6\leqslant a^6-2a^3b^3+b^6$ $a^6+2a^3b^3+b^6\leqslant a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6$ $(a^3+b^3)^2\leqslant (a^2+b^2)(a^4+b^4)$-------------(2) (1)+(2) $(a^3+b^3)^2+(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2+(a^2+b^2)(a^4+b^4)$ $(a^3+b^3)^2-(a^3-b^3)^2\leqslant (a^2+b^2)(a^4+b^4)-(a^2-b^2)(a^4-b^4)$ $4ab(ab)^2\leqslant 2(ab)^2(a^2+b^2)$ $2ab(ab)^2\leqslant (ab)^2(a^2+b^2)$ $0\leqslant (ab)^2(a^2+b^2)-2ab(ab)^2$ $0\leqslant (ab)^2(a^2-2ab+b^2)$ $0\leqslant (ab)^2(a-b)^2$ เนื่องจากมันเป็นกำลังสองสองตัว จึงมีค่าเป็นลบไม่ได้ครับ แต่เป็น 0 ได้ในกรณีที่ a=b หริอ a,b=0 ครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 20 ธันวาคม 2008 12:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เพราะรารู้แค่ว่า $(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2 \Longleftrightarrow (a^3+b^3)^2\leqslant (a^2+b^2)(a^4+b^4) $ ครับ ดังนั้นจึงนำมาบวกกันไม่ได้ ที่ถูกควรใช้โคชีที่ สมการ 2 ตรงๆครับ 20 ธันวาคม 2008 15:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ CH!nn@MonZaN |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leq (a^3-b^3)^2$ $a^6-a^2b^4-a^4b^2+b^6\leq a^6-2a^3b^3+b^6$ $0\leq a^2b^4-2a^3b^3+a^4b^2$ $0\leq a^2b^2(a-b)^2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
|||
|
|||
อืม ใช่ครับผมก็ยังงงว่าเอาสมการนั่นมาบวกกันทำไมอะครับ แล้วมานมาจากไหนผมก็ไม่ทราบครับ
ผมทำได้แล้วครับ ผมปรึกษาพี่ๆหน่อยครับพี่ทำยังไงให้ทำโจทย์พวกพิสูจน์อสมการเป็นอะครับ ผมยังไม่แตกฉานเลยครับแล้วผมว่ามานยากมากด้วยครับบางเอกลักษณ์ยังไม่เข้าใจเลยอะครับ 20 ธันวาคม 2008 18:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post |
#6
|
||||
|
||||
จริงด้วยแหะๆผมจะบวกมันไปทำไมเนี่ยๆ เหอๆๆๆ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ฝึกใช้ให้เคยชิน อย่างเช่น ถ้าอสมการมีเทอม $(1+a)(1+b)(1+c)$ อยู่ เราต้องรู้ทันทีว่ามันมีอีกรูปหนึ่งคือ $1+a+b+c+ab+bc+ca+abc$ อย่างที่สองคือ ความสามารถในการมองตัวแปรที่ยุ่งๆ ให้กลายเป็นตัวแปรอีกชุดนึงซึ่งทำให้เราทำอะไรได้ง่ายกว่า เช่นถ้าเราต้องพิสูจน์อสมการ $(a-b)(a^2-b^2)\leq (\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3})^2$ ควรมองให้ออกว่าน่าจะเปลี่ยนตัวแปรไปอีกรูปแบบนึง เพราะอสมการมีเทอมที่ติดรากที่สองทำให้ดูยุ่งๆ ถ้้าเราให้ $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c}$ จะทำให้เราได้อสมการในรูปของ $x,y,z$ เป็น $(x^2-y^2)(x^4-y^4)\leq (x^3-y^3)^2$ ซึ่งก็เป็นอสมการเดียวกันกับที่เราเพิ่งพิสูจน์ไปนั่นเอง อย่างที่สามคือ ความรู้เกี่ยวกับอสมการพื้นฐาน อันนี้ผมถือว่าจำเป็นมากๆ เพราะผิดกันบ่อยมาก แม้แต่ผมเองซึ่งทำโจทย์อสมการมานับไม่ถ้วนก็ยังผิดอยู่บ่อยครั้ง อสมการพื้นฐานคืออะไร? ก็อสมการอย่างเช่น ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a^2\leq b^2$ เป็นต้น เราต้องรู้ว่าเมื่อไหร่อสมการจริง เมื่อไหร่ไม่จริง หรืออย่างกรณีที่ผิดกันบ่อยๆก็อย่างเช่น ถ้า $a\leq b$ แล้ว $\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{a},-b\leq -a$ อย่างที่สี่คือ ความสามารถในการจัดรูปครับ อันนี้ไม่ต้องการทักษะอะไรเลย ใช้ความอึดอย่างเดียว บางอสมการแค่จัดรูปย้อนกลับก็ออกแล้วครับ แต่ถ้าเป็นระดับผู้ที่ชำนาญแล้วการจัดรูปจะทำได้หลากหลายวิธี อันนี้ต้องฝึกฝนกันเยอะหน่อยครับ อย่างที่ห้า คือ อสมการสำเร็จรูปทั้งหลาย อันนี้คงไม่ต้องแนะนำอะไรมาก เพราะส่วนใหญ่จะต้องเรียนกันอยู่แล้ว ฝึกใช้ให้คล่องก็แล้วกัน ที่เหลือก็อยู่ที่ประสบการณ์ในการทำโจทย์แล้วล่ะครับ อีกอย่างที่แนะนำให้ทำคือ ลองฝึกสร้างอสมการขึ้นมาด้วยตัวเองโดยใช้ความรู้ที่เรามีอยู่ จะช่วยให้เราชำนาญมากขึ้น
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
|||
|
|||
พี่อธิบายโจทย์เกี่ยวกับอสมการโคชีได้มั๊ยครับว่ามองยังไงจัดรูปยังไง แล้วพี่ให้โจทย์ง่ายๆก่อนก็ได้ครับผมจะฝึกเรื่องนี้ให้แตกฉานครับ
แล้วของ สอวน มานบอกตั้งแต่พื้นฐานมั๊ยครับผมจะได้ซื้อมาทำ 21 ธันวาคม 2008 15:27 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post |
#9
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
โดยที่ฝั่ง $B$ มีเทอมในรูป $\sqrt{x^2+y^2+\cdots}$ อยู่สองเทอมคูณกัน ถ้าโจทย์ยากๆ รูปแบบที่ว่าไม่ได้ให้มาตรงๆ เราอาจจะต้องจัดรูปแล้วก็มองให้อยู่ในรูปนี้ ลองแปลงอสมการในกรณีง่ายๆเก็บไว้ใช้ก็ดีครับ เช่นสำหรับ 3 ตัวแปร $ax+by+cz\leq\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ลองเอาตัวอย่างไปฝึกดูก่อนครับ 1. $2ab\leq a^2+b^2$ 2. $a+2b+2c\leq 3\sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$ 3. $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$ 4. $abc(a+b+c)\leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ สิ่งสำคัญคือมองตัวแปรสองชุดให้ออก $a,b,c$ กับ $x,y,z$ และตัวแปรที่ว่าอาจจะเป็นตัวเลขก็ได้นะครับ หนังสือของ สอวน. เหมาะสำหรับผู้ที่เคยทำโจทย์มาบ้างแล้ว โจทย์จะเน้นปัญหายากๆ จริงๆแล้วหนังสือให้เทคนิคการทำโจทย์เยอะมาก แต่เราต้องสกัดเอาเองจากการศึกษาวิธีคิดในโจทย์ที่หนังสือนำมาเฉลยให้ส่วนหนึ่งครับ ผมแนะนำหนังสือ อสมการ เล่มเล็กๆของ สสวท. ครับ เล่มนั้นจะมีปัญหาสำหรับผู้เริ่มต้นค่อนข้างเยอะ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#10
|
||||
|
||||
เอ่อพี่ nooonuii ครับแล้วเล่มปรนัย 29กับ30 ของอาจารย์ดำรงค์นี่เป็นอย่างไรหรอครับเหมาะสำหรับนำมาฝึกหรือไม่เพราะเล่ม สสวท. ไม่มีเฉลยเลยครับ
|
#11
|
||||
|
||||
ผมไม่เข้าใจที่พูดว่าเล่ม สสวท. ไม่มีเฉลยครับ มันก็เหมือนกับเล่ม สอวน. นั่นแหละครับ มีทั้งมีเฉลยไม่มีเฉลยปนกัน
ส่วนตัวผมคิดว่าเล่ม 29 และ เล่ม 30 ก็ดีนะครับ เพราะช่วงนี้ต้องฝึกอยู่ครับ เดี๋ยวต้องเข้า สอวน. อีกครับปีหน้า
__________________
ผู้ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด คือ ผู้ที่ทำตนให้เล็กที่สุด ผู้ที่เล็กที่สุดก็จะกลายเป็นผู้ที่ใหญ่ที่สุด ผู้ที่มีเกียรติ คือ ผู้ที่ให้เกียรติผู้อื่น |
#12
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เพราะไม่ได้กลับเมืองไทยมานานหลายปีแล้ว แต่ได้ข่าวว่ามีสองส่วนคือ algebraic กับ analytic ผมอยากอ่านส่วนของ analytic อยู่้หมือนกันครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#13
|
|||
|
|||
ข้อแรกครับ
$2ab\leqslant a^2+b^2$ $0\leqslant a^2-2ab+b^2$ $0\leqslant (a-b)^2$ ข้อ2. $a+2b+2c\leqslant \sqrt{1^2+2^2+2^2}\sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$ $a+2b+2c\leqslant \sqrt{9} \sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$ $a+2b+2c\leqslant 3 \sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$ ข้อ3. $(a)(b)+(b)(c)+(c)(a)\leqslant\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{b^2+c^2+a^2}$ $(ab)+(bc)+(ca)\leqslant (\sqrt{a^2+b^2+c^2})^2$ $ab+bc+ca\leqslant a^2+b^2+c^2$ |
#14
|
|||
|
|||
ข้อ4.
$(ab)(ac)+(bc)(ab)+(ac)(bc)\leqslant \sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}\sqrt{(ac)^2(ab)^2(bc)^2}$ $abc(a+b+c)\leqslant \sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}^2$ $abc(a+b+c)\leqslant a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2$ พี่ขอโจทย์แนวอสมการโคชีหน่อยครับ เอาตามระดับความง่ายยากเลยนะครับ 23 ธันวาคม 2008 21:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คณิตศาสตร์ |
#15
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$2ab=ab+ba$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|