|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ขอถามหน่อยครับ ( การเทียบเท่ากันของเซต - ความสัมพันธ์ )
คือผมอ่านจากแบบเรียนมาตรฐาน ให้นิยามของเซตที่เทียบเท่ากันไว้ว่า เป็นเซตที่มีสมาชิกเท่ากัน
แล้วตอนนี้มีโจทย์ในหนังสือเรียน ( ที่เตรียมพิมพ์เอง ) ถามว่า เซตใดต่อไปนี้ที่เทียบเท่ากัน P = {1,2,3,4,.....} Q = {3,6,9,12,.....} R = {2,4,6,8,.....} แล้วอาจารย์ก็เฉลยว่าทั้งสามเซตเทียบเท่ากันเพราะ ถ้าเอาสมาชิกของ P ทุกตัวมาคูณกับ 3 ได้เซต Q ถ้าเอามาคูณกับ 2 ได้เซต R ต่อมามีโจทย์อีกข้อถามว่า เซตอนันต์ทุกเซตเป็นเซตเทียบเท่ากันหรือเปล่า ตอบว่า ไม่จริง ผมเองก็งงๆ สมาชิกมันเป็น inf ถามนิยามนี่นา ..... ผมก็เลยอยากทราบว่า เซตที่เทียบเท่ากันต้องมีความสัมพันธ์กันแบบ 1:1 และเขียนออกมาเป็นรูปแบบที่ตายตัวได้ ( เช่น 2n , 3n ) ผมเข้าใจถูกหรือเปล่า หรือเป็นเพราะแบบเรียนไม่ได้อธิบายในส่วนตรงนี้เพราะมันเกินหลักสูตรไป
__________________
Mmmm .... |
#2
|
|||
|
|||
เรื่องเซ็ตนี่เป็นเรื่องยุ่งยากและซับซ้อนมากครับ คิดมากไปอาจเป็นบ้าได้ ดังนั้นพี่ขอ
อธิบายสั้นๆเท่านั้นนะครับ ถ้าจะเอาอย่างละเอียดคงต้องคุยกันเป็นการส่วนตัวแล้วล่ะ เซ็ต A และ B จะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อเราสามารถหาฟังก์ชัน 1-1 และ onto จาก A ไปยัง B ได้ ดังนั้น 1. ถ้า A และ B เป็นเซ็ตจำกัดแล้วล่ะก็ A และ B จะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อเซ็ตทั้งสองมี จำนวนสมาชิกเท่ากัน 2. เซ็ตที่เทียบเท่ากับ N (เซ็ตของจำนวนนับ) เราเรียกว่าเป็นเซ็ตอนันต์ที่นับได้ 3. R (เซ็ตของจำนวนจริง) เป็นเซ็ตที่นับไม่ได้ดังนั้น R ไม่เทียบเท่ากับ N ตัวอย่างที่ 1 N เทียบเท่ากับเซ็ตต่อไปนี้ Z (เซ็ตของจำนวนเต็ม) Q (เซ็ตของจำนวนตรรกยะ) เซ็ตของจำนวนคี่ เซ็ตของจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างที่ 2 R เทียบเท่ากับเซ็ตต่อไปนี้ [0, 1] เซ็ตของจำนวนอตรรกยะ C (เซ็ตของจำนวนเชิงซ้อน) ผิดพลาดประการขอให้ผู้รู้ที่ซุ่มอ่านอยู่ช่วยแก้ไขด้วยนะครับ |
#3
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
เรื่องนี้มันลงลึกไปในเรื่องของ Set Theory ซึ่งพี่ก็ไม่เคยเรียนมาซะด้วยสิ (หวังว่าจะมีผู้รู้มาช่วยอธิบายเสริมด้วยนะครับ ) อย่างไรก็ตามนี่เป็นเพียงความคิดเห็นของพี่เท่านั้น
เราจะมีวิธีวัดอย่างไร เพื่อระบุว่าเซ็ตทั้งสองเป็นเซ็ตที่เทียบเท่ากัน ? โดยหลักการเบื้องต้นที่เราใช้กันอยู่คือ ใช้วิธีจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง หากเราสามารถแสดงความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกในเซ็ตทั้งสองได้ ก็จะถือว่าเป็นเซ็ตที่เทียบเท่ากัน ซึ่งก็ฟังดูแล้วเข้าท่าดี โดยอาศัยวิธีการนี้ เราลองนำมาใช้ตรวจสอบการเทียบเท่ากันของเซ็ตของ จำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนคู่ จำนวนคี่ และ จำนวนตรรกยะ ว่าจะได้ผลเป็นอย่างไร เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนเต็ม {1,2,3,...} ซ {0,1,-1,2,-2,3,-3,...} เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนคู่ {1,2,3,...} ซ {0,2,-2,4,-4,6,-6,,...} เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนคี่ {1,2,3,...} ซ {1,-1,3,-3,5,-5,,...} เซ็ตของจำนวนนับ เทียบเท่ากันกับ เซ็ตของจำนวนตรรกยะ {1,2,3,...} ซ {0 , 1/1 , -1/1 , 1/2 , -1/2 , 2/1 , -2/1 , 3/1 , -3/1 , 2/3 , -2/3 , 1/3 , -1/3 , 1/4 , -1/4 , ...} สำหรับวิธีการไล่ลำดับของจำนวนตรรกยะให้ครบ ให้ดูแนวการไล่ตัวเลขจากแผนภาพข้างล่าง เราจะสรุปได้ว่าเซ็ตของจำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนคู่ จำนวนคี่ และจำนวนตรรกยะ ล้วนเป็นเซ็ตที่เทียบเท่ากัน โดยมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ (ให้สังเกตด้วยว่า เซ็ตเหล่านี้เป็นเซ็ตที่ นับได้ เพราะเราสามารถเขียนแจกแจงออกมาได้ทุกตัว) ผลลัพธ์ที่ได้ขัดกับความรู้สึกรึเปล่า เพราะเรารู้มาว่า N ฬ Z ฬ Q ดังนั้นมันควรจะได้ผลลัพธ์เป็น n(N) < n(Z) < n(Q) แสดงว่าการเทียบเท่ากันของเซ็ต ไม่ได้หมายความว่า จะได้จำนวนสมาชิกเท่ากันด้วย ส่วนสาเหตุที่เป็นเช่นนั้นอาจเป็นไปได้ว่า การกำหนดวิธีการตรวจสอบดังกล่าว ใช้ได้ผลกับเซ็ตที่มีจำนวนสมาชิกจำกัดเท่านั้น ใช้ไม่ได้กับเซ็ตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ หรือไม่ก็ต้อง ไปคิดกันใหม่ว่า เท่ากันคืออะไร ไม่เท่ากันคืออะไร มากกว่าคืออะไร น้อยกว่าคืออะไร แล้วกรณีเซ็ตของจำนวนจริงละ เทียบเท่ากันกับเซ็ตของจำนวนนับหรือไม่ สำหรับปัญหาข้อนี้ Cantor ได้แสดงให้เห็นว่าเซ็ตของจำนวนจริง นับไม่ได้ และมีจำนวนมากกว่าเซ็ตของจำนวนนับ สำหรับการพิสูจน์จะใช้วิธี contradiction โดยสมมติให้ เซ็ตของจำนวนจริงนับได้ ดังนั้นจึงสามารถ เขียนแสดงความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซ็ตของจำนวนนับได้ สมมติว่าเราได้ลำดับของจำนวนจริงออกมาดังรายการข้างล่าง (เอามาเพียงช่วงต้นๆ)
เราจะแสดงให้เห็นว่า มีจำนวนจริงที่ไม่อยู่ในรายการดังกล่าว ขอให้สังเกตตัวเลขในแนวทแยงมุมเป็นสำคัญ (ตัวหนาและขีดเส้นใต้) เราจะเริ่มต้นจากการ เลือกตัวเลขในหลักที่ 1 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 1 คอลัมน์ที่ 1 สมมติว่าเราเลือกเลข 2 เลือกตัวเลขในหลักที่ 2 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 2 คอลัมน์ที่ 2 สมมติว่าเราเลือกเลข 3 เลือกตัวเลขในหลักที่ 3 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 3 คอลัมน์ที่ 3 สมมติว่าเราเลือกเลข 2 เลือกตัวเลขในหลักที่ 4 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 4 คอลัมน์ที่ 4 สมมติว่าเราเลือกเลข 5 เลือกตัวเลขในหลักที่ 5 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 5 คอลัมน์ที่ 5 สมมติว่าเราเลือกเลข 1 เลือกตัวเลขในหลักที่ 6 ให้ไม่ตรงกับตัวเลขในแถวที่ 6 คอลัมน์ที่ 6 สมมติว่าเราเลือกเลข 4 ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ เราจะได้ว่า จำนวนจริงที่เราหามาได้(2.32514...) จะไม่ซ้ำกับทุกจำนวนจริงที่ปรากฏในรายการดังกล่าวเลย (เพราะจะมีอยู่หลักหนึ่งซึ่งค่าไม่ตรงกันเสมอ) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซ็ตของจำนวนนับได้ สำหรับการพิสูจน์อันนี้พี่ก็ยังงงๆอยู่ อาจเข้าใจอะไรบางอย่างผิดไป คือหากเราลองนำวิธีพิสูจน์นี้มาดัดแปลงใช้ ในการพิสูจน์ว่า เซ็ตของจำนวนนับ ไม่สามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซ็ตของจำนวนนับได้ ก็น่าจะได้ กล่าวคือ เราลองแสดงรายการของจำนวนนับทั้งหมดออกมา จากนั้นจะมีวิธีเลือกจำนวนนับที่ไม่ซ้ำกับจำนวนนับที่อยู่ในรายการออกมาได้ โดยเริ่มจากการเลือกเลขหลักหน่วย ที่ไม่ซ้ำกับตัวเลขในหลักหน่วยของแถวแรก เลือกเลขหลักสิบ ที่ไม่ซ้ำกับตัวเลขในหลักสิบของแถวที่สอง ทำซ้ำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ก็จะได้จำนวนนับที่ไม่ซ้ำกับในรายการดังกล่าวเช่นกัน ก็เป็นเพียงความคิดเห็นเล็กๆน้อยๆครับ รอผู้รู้ตัวจริงจะดีกว่า ----------------------------------------------------- สำหรับสองกระทู้ข้างล่างนี้ เป็นกระทู้ประวัติศาสตร์อันหนึ่ง แห่งห้องหว้ากอ ที่น่าสนใจและยาวมากๆ ต้องตั้งสติให้ดีขณะอ่าน ไม่งั้นลมปราณอาจแตกซ่านได้ (ถ้าที่นี่มีการถกปัญหาคณิตศาสตร์ แบบสองกระทู้นี้ได้จะดีมากครับ ) ถ้าให้ A = { X | X is a set } แล้วขอถามว่า A เป็น set ใช่หรือไม่? ลูกถามเลขมา...ตอบไม่ได้...ช่วยตอบที
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#4
|
|||
|
|||
ตอบคุณ TOP นะครับ (แม้ผมจะไม่ได้รู้และสนใจ set theory เท่าไหร่นัก )
เราเรียกจำนวนสมาชิกของเซ็ตว่า cardinality ของเซ็ต และกำหนดให้เซ็ตที่เทียบ เท่ากันมี cardinality เดียวกัน ดังนั้นเราจึงถือว่า N และ Z ต่างก็มี จำนวนสมาชิกเท่ากัน จริงๆแล้วนิยามของเซ็ตอนันต์ก็คือเซ็ตที่มี proper subset ที่เทียบเท่ากับตัวมันเอง เรามักใช้ตัว Aleph (ซึ่งเป็นอักษร Hebrew ตัวแรก) ห้อยด้วย 0 เพื่อแทน card(N) แต่สมัยก่อนใช้ w ซึ่งผมก็จะขอใช้ตัวนี้แทนไปก่อน เราเรียก w ว่าเป็น first transfinite cardinal เพราะ N เป็นเซ็ตอนันต์ที่เล็กที่สุด เราใช้ c แทน card(R) และเราเรียกมันว่า cardinality of continuum เรารู้ว่า cardinality ของ P(A) (power set ของ A) จะใหญ่กว่า card(A) เสมอ พูดให้ชัดเจนลงไปได้ว่า card(P(A)) = 2card(A) > card(A) และเรายังรู้ด้วยว่า w = card(N) = card(Z) < card(P(N)) = 2w = c ปัญหาที่สำคัญมากที่สุดอันนึงใน set theory ก็คือมีเซ็ต X ที่ w < card(X) < c หรือไม่ (continuum hypothesis) สำหรับการใช้ Cantor's diagonal argument ในการพิสูจน์ uncountability ของ R นั้นเป็นเรื่องละเอียดอ่อนมาก แม้แนวคิดหลักจะเหมือนกับที่คุณ TOP แสดง แต่โดยทั่วไปแล้วเค้าพิจารณาเฉพาะช่วง [0, 1) นั่นคือพิจารณาเฉพาะจำนวนที่ อยู่ในรูป 0.xxxxxx... ส่วนเรื่องปัญหาการใช้ Cantor's diagonal argument กับ N นั้นเกิด จากตัวเลขที่คุณ TOP สร้างขึ้นมานั้นมันมีค่าเป็นอนันต์ มันไม่ใช่จำนวนนับอะครับ พูดถึง pantip ผมไม่ได้เข้าไปเล่นมานานหลายปีแล้ว ไม่คิดว่าจะคึกคักกันขนาดนี้ แต่ผมชอบที่นี่มากกว่านะครับ เพราะผมว่าโดยเฉลี่ยแล้วคนที่นี่ nice กว่าเยอะเลย |
#5
|
||||
|
||||
อืม ... พอจะเข้าใจขึ้นมาบ้างครับ แต่ยังงงๆเรื่อง Cantor อยู่
__________________
Mmmm .... |
#6
|
||||
|
||||
ขอบคุณ คุณ warut ครับ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม แต่ยังสงสัยอยู่หลายประเด็นดังนี้
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 10 มิถุนายน 2002 18:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#7
|
|||
|
|||
ท cardinality ใช้กับเซ็ตจำกัดได้ครับเช่น card({0, 1}) = 2
ท คือ Cantor พบว่าอนันต์มันไม่ได้มีอยู่แค่หนึ่งเดียวก็เลยต้องมีการแยกแยะกันออกไปนะครับ ท แนวคิดคร่าวๆก็คือเราสามารถ map สับเซ็ตแต่ละอันของ N ไปยัง (0, 1) ได้ด้วยเทคนิคในตัวอย่างต่อไปนี้ครับ { 1, 2, 3 } ฎ 0.111000... (ฐาน 2) { 2, 3, 5 } ฎ 0.011010... (ฐาน 2) |
#8
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ ปัญหาเรื่อง cantor นี่เข้าใจยากจัง ยังมีอีกหลายประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ ก็คือ
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#9
|
|||
|
|||
ท จำนวนที่ได้ออกมามันจะเป็นอะไรคล้ายๆอย่างนี้ไงครับ
...155487864012. ท ก็เพราะ card((0, 1)) = card(R) = c น่ะครับ หรือถ้าต้องการ explicit mapping ก็เช่น x ฎ tan(p(x - 1/2)) ท ข้อนี้งงคำถามมากครับ สิ่งที่ Cantor's diagonal argument พิสูจน์คือ เซ็ตของจำนวนจริงเป็น uncountably infinite set นี่ครับ ไม่ได้เกี่ยวข้องกับเรื่อง จำนวนตรรกยะ-อตรรกยะนี่นา ผมว่าอย่าไปคิดมากเลยครับเรื่องพวกเนี้ย ยิ่งตอนหลังนี่รู้สึกว่าการโคจรของลมปราณ ของคุณ TOP ชักจะแปลกๆไป แล้วเรื่องนี้ก็ไม่ใช่เรื่องที่ผมถนัดด้วย ผมเองก็มีเค้าว่า จะโดนธาตุไฟเข้าแทรกอยู่เหมือนกัน ดีไม่ดีเดี๋ยวจะลงเอยแบบ Godel หรือ Lebesgue ได้ |
#10
|
||||
|
||||
ฮ่าๆ อย่าไปสนใจลมปราณของผมเลยครับ(ปล่อยให้มันเพี้ยนๆบ้างก็ดี) ตอนนี้คิดเทคนิคการ mapping จำนวนนับไปยัง (0,1) ได้แล้ว เรียกว่า mirror mapping ดังนี้
1 ฎ 0.1 2 ฎ 0.2 34 ฎ 0.43 567 ฎ 0.765 8910 ฎ 0.0198 อย่างนี้จะถือว่า card(N) = card((0,1)) หรือไม่
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#11
|
|||
|
|||
mirror mapping ของคุณ TOP มันไม่ onto นี่ครับ ยกตัวอย่างเช่น
เราไม่สามารถหาจำนวนนับ n ที่จะถูก map ไปยัง 1/3 = 0.333333... ได้ |
#12
|
||||
|
||||
ถ้ากรณีที่ผมยกขึ้นมาไม่สามารถ mapping ไปยัง 0.33333... ได้ ผมว่า กรณีที่คุณ warut ยกขึ้นมาก็ไม่สามารถหา subset ที่ mapping ไปยัง 0.01010101...2 ได้เช่นกัน (0.33333... = 0.01010101...2) เพราะใน subset นั้นจะต้องมีจำนวนนับ ที่เกิดขึ้นมีค่าเป็น ฅ เช่นเดียวกับ ที่ไม่สามารถหาจำนวนนับที่ mapping กับ 0.33333... ได้ ดังนั้นหาก subset ที่ว่ายอมให้ มีค่าดังกล่าวได้ กรณีที่ผมยกขึ้นมาก็ควรจะมีค่าดังกล่าวได้ด้วยเช่นกัน
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#13
|
|||
|
|||
ผมว่าคุณ TOP กำลังสับสนจริงๆแล้วนะเนี่ย แต่ผมจะลองพยายามดูอีกสักครั้ง
พิจารณาช่วง (2, 3) จะเห็นว่า (2, 3) เป็นเซ็ตอนันต์ แต่ไม่มีสมาชิกตัวไหนใน (2, 3) ที่มีค่าเป็นอนันต์เลย ฉันใดก็ฉันนั้นถ้าแทนที่ (2, 3) ด้วย R หรือ N ทุกอย่าง ก็ยังคงเหมือนเดิม อย่าลืมนะครับว่าไม่มีสมาชิกตัวไหนเลยใน N ที่มีค่าเป็นอนันต์ เพียงแต่ N มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ ตรงนี้สำคัญมากถ้าไม่ทำความเข้าใจให้ตรงกัน ก่อนก็ไม่มีประโยชน์อะไรที่จะไปพูดถึงเรื่อง mapping 0.3333... ใน mirror mapping ของคุณ TOP ตรงกับ ...3333. = 3 + 3*10 + 3*102 + 3*103 + ... ซึ่งไม่ใช่จำนวนนับ ส่วน 0.010101...2 ของผมนั้นตรงกับเซ็ต { 2, 4, 6, ... } มันต่างกันมากเลยนะครับ |
#14
|
||||
|
||||
จาก "N = { 1 , 2 , 3 , ... } มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ แต่ไม่มีสมาชิกตัวไหนเลยใน N ที่มีค่าเป็นอนันต์" ถ้าผมทำอย่างนี้ละ
... 3333 = 3 + 3*10 + 3*102 + 3*103 + ... ด้านขวามือของสมการคือ ผลรวมของสมาชิกในเซ็ต { 3 , 30 , 300 , 3000 , ... } ซึ่งมีเป็นจำนวนอนันต์เทอม แต่ไม่มีเทอมใดเลยที่ มีค่าเป็นอนันต์ แล้วค่ามันจะเป็นอนันต์ได้อย่างไร (สมบัติปิดการบวก) อ๊าก! ปวดหัว ไม่มีใครช่วยคิดเลย ลองเอาคำถามนี้ไปคิดกันเล่นๆดูนะครับ จงบอกว่าข้อใดถูก ข้อใดผิด 1) 0.3333 ... ฮ { 0.3 , 0.33 , 0.333 , 0.3333 , ... } 2) ... 3333 ฮ { 3 , 33 , 333 , 3333 , ... } 3) ถ้า A เป็น countable set แล้ว n(A) ฮ N 4) N มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ แต่ไม่มีสมาชิกตัวไหนเลยใน N ที่มีค่าเป็นอนันต์
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 20 มิถุนายน 2002 18:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#15
|
|||
|
|||
สมบัติปิดการบวกใช้ได้กับการบวกเป็นจำนวนจำกัดครั้งเท่านั้นครับ
ลองคิดเปรียบเทียบกับความจริงที่ว่า 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... = ln 2 ถ้าคิดอย่างที่คุณ TOP ว่าข้อความนี้มันก็ต้องผิดเพราะข้างซ้ายเป็นจำนวนตรรกยะ ทั้งหมดแต่ข้างขวาเป็นจำนวนอตรรกยะ การกระทำอะไรในทางคณิตศาสตร์ที่เป็นอนันต์ครั้งเป็นเรื่องที่ต้องระมัดระวังมาก เพราะผลมันอาจแตกต่างกับการกระทำเป็นจำนวนจำกัดครั้งได้ และที่สำคัญที่สุดคือ อย่าลืมว่า ฅ นั้นไม่ใช่จำนวนจริงนะครับ 1. ผิด แต่ว่า 0.3333... = sup { 0.3, 0.33, 0.333, ... } = lub { 0.3, 0.33, 0.333, ... } 2. ผิด แต่ว่า ฅ = sup { 3, 33, 333, 3333, ... } 3. ผิด เช่น A = N 4. ถูกต้องครับ |
|
|