|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Problems for Mathcenter Contest Round 2/2009
ช่วงนี้งานติดพัน ขออนุญาตลงโจทย์ก่อนเวลาประมาณหนึ่งชั่วโมงนะครับ
โจทย์ในรอบนี้ เรียงข้อตามลำดับคะแนน โปรดศึกษากติกาและวิธีการตอบให้เข้าใจในกระทู้กฎ กติกา มารยาท ก่อนตอบหรือตั้งคำถามด้วยครับ หากมีข้อสงสัยหรือเสนอแนะเกี่ยวกับโจทย์และการส่งคำตอบ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึงเวลา 22:30 น. วันจันทร์ที่ 10 สิงหาคม 2552 เท่านั้น และจะไม่รับการถามทางข้อความส่วนตัว เจ้าของโจทย์ สามารถมาช่วยตอบข้อสงสัยได้ตามสมควร โดยไม่ต้องรอให้ผู้ดูแลเป็นผู้ตอบ แต่ห้ามใบ้หรือชี้แนะวิธีทำเด็ดขาดไม่ว่าจะโดยวิธีใดก็ตาม สำหรับเจ้าของโจทย์ที่ไม่ได้รับการคัดเลือกใช้แข่ง สามารถใช้สิทธิ์ขอถอนคำถามออกจากการเสนอ เสนอให้คำถามไปอยู่ใน longlist หรือยกยอดไปใช้เสนอเป็นคำถามรอบถัดไปได้ในกระทู้คำถามของตนเองครับ หมดเวลาส่งคำตอบ: 20:00 น. วันจันทร์ที่ 7 กันยายน 2552 คะแนนเต็มสูงสุด 28 คะแนน 1. (5 คะแนน) สำหรับจำนวนนับ $n$ ใดๆ นิยาม $n!!=(n!)!$ เช่น $3!!=(3!)!=6!=720$ ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า $$\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)!!}{a_1!!a_2!!\cdots a_n!!}$$ เป็นจำนวนเต็ม (เสนอโดยคุณ nooonuii) 2. (5 คะแนน) จงหาจำนวนนับทั้งหมดที่สามารถเขียนได้ในรูป $\dfrac{4ab}{ab^2+1}$ สำหรับบางจำนวนนับ $a,b$ (เสนอโดยคุณ nooonuii) 3. (6 คะแนน) ให้ $x,y,z>0$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{x^2+2}{\sqrt{z^2+xy}}+\dfrac{y^2+2}{\sqrt{x^2+yz}}+\dfrac{z^2+2}{\sqrt{y^2+zx}}\geq 6$$ (เสนอโดยคุณ nooonuii) 4. (6 คะแนน) หาค่าของจำนวนจริง $x,y,z$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ $$\begin{eqnarray}8(x+\frac{1}{x}) &=& 15(y+\frac{1}{y}) = 17(z+\frac{1}{z})\\ xy + yz + zx &=& 1\\ \end{eqnarray}$$ (เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan) 5. (6 คะแนน) กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $a \not= 0$ และ $a \not= b$ และรากทั้งหมดของสมการ $ax^{3}-x^{2}+bx-1 = 0$ เป็นจำนวนจริงและเป็นบวก จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $P = \dfrac{5a^{2}-3ab+2}{a^{2}(b-a)}$ (เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan) คะแนนเต็มสูงสุด 30 คะแนน 1. (3 คะแนน) สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มี $BC = 3AB$ ถ้า $P$ และ $Q$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ ที่ทำให้ $BP = PQ = QC$ แล้วพิสูจน์ว่า $\angle DBC + \angle DPC = \angle DQC$ (เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan) 2. (4 คะแนน) กำหนดให้ $P(n)$ และ $S(n)$ แทนผลคูณและผลบวกของเลขโดดทุกหลักของจำนวนนับ $n$ ตามลำดับ เช่น $P(23) = 6$ และ $S(23) = 5$ ถ้า $N$ เป็นจำนวนนับที่เป็นเลข 2 หลัก โดยที่ $N = P(N) + S(N)$ แล้วเลขหลักหน่วยของ $N$ เท่ากับเท่าใด (เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan) 3. (4 คะแนน) กำหนดให้ $a,b,c>1$ และ $~~~~~a^x=bc$ $~~~~~b^y=ca$ $~~~~~c^z=ab$ จงหาค่าของ $x+y+z-xyz$ (เสนอโดยคุณ nooonuii) 4. (4 คะแนน) โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียน $2552$ คน นักเรียนแต่ละคนจะมีรหัสประจำตัวซึ่งเป็นเลข $5$ หลัก และมีค่าตั้งแต่ $20009$ ถึง $22560$ ทางโรงเรียนต้องการแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่มเพื่อจัดนิทรรศการ โดยนักเรียนที่มีผลรวมของเลขโดดในรหัสประจำตัวเท่ากันจะอยู่กลุ่มเดียวกัน เช่น นักเรียนที่มีรหัส $20009$ จะอยู่กลุ่มเดียวกับ นักเรียนที่มีรหัส $21116$ เป็นต้น นักเรียนหนึ่งกลุ่มจะต้องใช้ห้องเรียนหนึ่งห้องในการจัดนิทรรศการ และนักเรียนทุกคนต้องเข้าร่วม กิจกรรมในครั้งนี้ จงหาว่าโรงเรียนจะต้องใช้ห้องทั้งหมดกี่ห้อง เพื่อให้นักเรียนแต่ละกลุ่มนำไปใช้จัดนิทรรศการ (เสนอโดยคุณ nooonuii) 5. (5 คะแนน) ถ้า $$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=2553$$ แล้วค่าของ $\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ เป็นเท่าใด (เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow) 6. (5 คะแนน) รูปสามเหลี่ยม ABC มีอัตราส่วน มุมB:มุมA:มุมC เป็น 2:3:4 จุด D เป็นจุดบน AC ที่ทำให้สามเหลี่ยม BDC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ถ้า AB ยาว $12\sqrt[4]{3}$ หน่วยแล้ว สองเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ADB บวกกับพื้นที่รูปสามเหลี่ยม BCD เป็นเท่าใด (เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow) 7. (5 คะแนน) กำหนดให้ $N$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีสมบัติดังต่อไปนี้ 1. เลขโดดในทุกหลักของ $N$ เป็นเลขเดียวกัน 2. $N$ ถูกหารลงตัวด้วย $333...$ ( มี 3 เรียงกัน 128 ตัว ) 3. $N$ ถูกหารลงตัวด้วย $3^3$ จงหาว่าจำนวนเต็มบวก $N$ ที่น้อยที่สุดมีกี่หลัก (เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow) คะแนนเต็มสูงสุด 20 คะแนน 1. (5 คะแนน) หาค่า $A$ ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปใดๆ ที่มีพื้นที่รวมกันเท่ากับ $1$ จะมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่ $A$ โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส $2$ รูปนั้นสามารถบรรจุอยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ (โดยไม่มีพื้นที่ซ้อนทับกัน) สมมติให้ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานกับด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan) 2. (5 คะแนน) กำหนดให้ $f:\mathbb{R}-\left\{0,1\right\}\rightarrow\mathbb{R}$ โดยที่ $f(x) + f(1-\frac{1}{x}) = 1+x$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{R}-\left\{0,1\right\}$ จงหาค่าของ (รูปทั่วไปของ) $f(x)$ (เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan) 3. (5 คะแนน) ให้ $x$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเป็นคำตอบของสมการ $x+\dfrac{1}{x}=2\sin{\frac{\pi}{32}}$ จงหาค่าของ $x^4+\dfrac{1}{x^4}$ (ตอบในรูปที่ไม่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ) (เสนอโดยคุณ nooonuii) 4. (5 คะแนน) ในการแข่งขันฟุตบอลรายการหนึ่งมีทีมเข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด $4$ ทีม การแข่งขันเป็นแบบพบกันหมดคู่ละ $1$ ครั้งเท่านั้น และมีเกณฑ์การให้คะแนนดังนี้ ทีมชนะได้ $3$ คะแนน ถ้าเสมอกันได้ทีมละ $1$ คะแนน ทีมแพ้ไม่ได้คะแนน ถ้าจบการแข่งขันแล้วปรากฎว่าทีมที่ได้อันดับที่ $4$ มีคะแนนรวม $4$ คะแนน จงหาคะแนนรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทีมที่ได้อันดับที่ $1$ (เสนอโดยคุณ nooonuii) ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์ปัญหาครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#2
|
||||
|
||||
มาแย้วๆ เอาละ...ลุยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยย....สุดขั่ววว....
__________________
เงินซื้อผมไม่ได้(ถ้าไม่มากพอ) |
#3
|
||||
|
||||
รอบที่แล้วไม่ได้แข่งแต่รอบนี้ขอแข่งด้วยคนนะคัรับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... |
#4
|
||||
|
||||
ถ้าผมจะขอแข่งตอนนี้ยังทันป่าวหว่า
แล้วถ้าคิดได้ ให้ไป แสดงวิธีคิดที่ห้องส่งคำตอบเหรองับ??
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ |
#5
|
||||
|
||||
#4
ทันอยู่ครับ และเข้าใจวิธีการส่งคำตอบ(เป็นวิธีทำ)ถูกแล้วครับ มีเวลาส่งคำตอบ(แนวคิด)ถึงวันที่ 7 กันยายนตอนสองทุ่มครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#6
|
||||
|
||||
แข่งด้วย ดีกว่า
__________________
คุณอาจจะค้นพบสุดปลายจักรวาล แต่คุณยังไม่ค้นพบ 3 cm.ที่หน้าอกด้านซ้ายในตัวคุณเลย |
#7
|
||||
|
||||
ยากมาก
ข้อ3ครับ
$a^x=bc$ สมการที่1 $b^y=ca$ สมการที่2 $c^z=ab$ สมการที่3 นำมาคูณ $a^x*b^y*c^z$ $\downarrow$ เทียบ ส.ป.ส $bc*ca*ab = a^2b^2c^2$ $ x = 2 $ $ y = 2 $ $ z = 2 $ แทนค่า $2+2+2-8$ ตอบ-2 ถูกไหมครับ
__________________
อยากไปเรียนมหิดลแต่ยังไงก็ไปไม่ถึง 07 ธันวาคม 2009 13:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ napolsmath |
#8
|
||||
|
||||
ผมขออนุญาตไม่เช็คคำตอบให้นะครับ เพราะถือว่าส่งคำตอบมาไม่ตรงตามเวลาและข้อตกลงของการแข่งขันนะครับ
แต่ถ้า่ยังต้องการตอบคำถามนี้อยู่ ลองไปที่ห้องปัญหาเก็บตกได้นะครับ ขอล็อกกระทู้นะครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Problems for Mathcenter Contest Round 3 | nongtum | Mathcenter Contest | 15 | 17 ตุลาคม 2009 20:37 |
Problems for Mathcenter Contest Round 1/2009 | nongtum | Mathcenter Contest | 28 | 16 มิถุนายน 2009 08:14 |
Problems for Mathcenter Contest Round 2 | nongtum | Mathcenter Contest | 21 | 26 มิถุนายน 2008 19:41 |
|
|