|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Alternating series (and Abel's theorem)
หลังจากโดนขับไล่จากหัวข้ออื่น ... เอ้ยไม่ช่าย
1. อนุกรมอนันต์ $$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots $$ เรียกว่าอนุกรมสลับ (alternating series) เพราะเทอมมีลักษณะเครื่องหมายสลับกันระหว่างบวกและลบ 2. เนื่องจากเทอมลู่เข้าหาศูนย์ ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า (ความรู้แคลเบื้องต้นครับ ) Q: คำถามคือให้หาค่าของอนุกรมข้างบน hint ให้ว่าเหมือนกับการหาค่าของลิมิต (ทำไม ) $$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right) $$ แล้วลิมิตข้างบนได้เท่าไหร่ละ ปล. ถ้าใครต้องการ hint เพิ่มก็บอกนะครับ กระทู้จะได้ไม่เดี้ยง |
#2
|
||||
|
||||
ขอลองทำข้อนี้หน่อยครับพี่ Punk
ให้ $a_{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - ... + (-1)^{n+1}\frac{1}{n} $ $ a_{1} = 1 $ $ a_{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $ a_{3} = a_{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $ $ a_{4} = a_{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ $ a_{5} = a_{4} + \frac{1}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} $ $ a_{6} = a_{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} $ จากการสังเกตและตรวจสอบโดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พบว่า $$ a_{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}$$ เนื่องจาก {$a_{n}$} เป็นลำดับลู่เข้า จึงได้ว่า $$ \lim_{n \to \infty}a_{n} = \lim_{n \to \infty}a_{2n} $$ ในการหา $ \lim_{n \to \infty}a_{2n} $ ให้พิจารณาพื้นที่ใต้กราฟ $ y = \frac{1}{x+1}$ บนช่วง [0, 1] แบ่งช่วง [0, 1] ออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กันโดยใช้ผลแบ่งกั้น {$ 0, \frac{1}{n} , \frac{2}{n}, ... ,\frac{n}{n} = 1$} ให้ $x_{0} = 0$ และสำหรับ $1 \leq i \leq n $ ให้ $x_{i} = \frac{i}{n}$ และ $\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i-1}$ จะได้ $\Delta{x_{i}}f(x_{i}) = (\frac{1}{n})(\frac{n}{n + i}) = \frac{1}{n + i}$ ดังนั้นพื้นที่ใต้กราฟคือ $ \lim_{n \to \infty}(\Delta x_{1}f(x_{1}) + \Delta x_{2}f(x_{2}) + ... + \Delta x_{n}f(x_{n}))$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ $$ \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2n}$$ แต่โดย Fundamental Theorem of Calculus ได้ว่า พื้นที่ดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 0$\int^{1} \frac{1}{x+1} dx = ln(2)$ ทำให้ได้ว่า $ \lim_{n \to \infty} a_{2n} = ln(2)$ และ $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - ... + (-1)^{n+1}\frac{1}{n} + ... = ln(2) $
__________________
สนใจคณิตศาสตร์ครับ ช่วยชี้แนะด้วยครับ |
#3
|
||||
|
||||
ใช้อนุกรมเทย์เลอร์เลยครับ โดย$In(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}-...ได้เลย$
__________________
ปีนี้ ต้องไม่พลาด สู้เพื่อ มศว ปทุมวัน |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
ปีนี้ ต้องไม่พลาด สู้เพื่อ มศว ปทุมวัน |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Sequences and Series Marathon | Timestopper_STG | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 161 | 01 พฤษภาคม 2015 16:45 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 22: Infinite Series | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 02 พฤศจิกายน 2006 05:35 |
ทำไมจึงเรียก Completeness Theorem | rigor | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 6 | 02 กรกฎาคม 2006 16:39 |
Series | intarapaiboon | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 02 ตุลาคม 2005 10:58 |
Mean Value Theorem | kanji | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 8 | 27 มกราคม 2005 18:06 |
|
|