เรื่องของการพิสูจน์ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งอ่ะครับ

[ผู้โง่เขลา]

คือ ผมเคยเห็นแต่การพิสูจน์หนึ่งตัวแปรอ่ะครับ พอมาเป็นสอง เป็น nตัวแปรเลยจับอะไรไม่ได้เลยอ่ะครับ เพราะนิยามก็มีแค่หนึ่งตัวแปรอ่ะครับ
ตัวอย่างโจทยน์อ่ะครับ กำหนดฟังค์ชัน $ f:R\times R\rightarrow R ซึ่ง f(x,y)=2x+y$ มีคุณสมบัติ เป็น หนึ่งต่อหนึ่ง หรือไม่ และมีสมบัติทั่วถึงหรือไม่

อีกข้อหนึ่งอ่ะครับ $ f:R\rightarrow R\times R ซึ่ง f(x)=(5x,4x-1)$ มีคุณสมบัติ เป็น หนึ่งต่อหนึ่ง หรือไม่ และมีสมบัติทั่วถึงหรือไม่
ขอบคุณมากครับ ช่วยพิสูจน์ทีนะครับ ปล ผมงงเพราะไม่มีนิยามบอกอ่ะครับ ถ้าขยายเป็น n ตัวแปร จะมีวิธีพิสูจน์ยังไงอ่ะครับ ขอบคุณล่วงหน้าจริงๆครับ

[nooonuii]

นิยามนั้นมีแน่นอนเพียงแต่คุณยังสับสนกับนิยามมากกว่า

$f:X\to Y$ is 1-1 if $f(x)=f(y)$ implies $x=y$

เขียนแบบคร่าวๆได้แบบนี้ สิ่งที่ต้องทำคือสมมติ $x,y\in X$ และกำหนดเงื่อนไข $f(x)=f(y)$ แล้วพิสูจน์ให้ได้ว่า $x=y$

อย่าง $f(x,y)=2x+y$ ถ้าจะพิสูจน์ก็

ให้ $(a,b),(c,d)$ มาแล้วสมมติว่า $f(a,b)=f(c,d)$

ลองทำต่ออีกนิดจะพบว่ามันไม่ 1-1

ทิ้งไว้ให้แค่นี้ก่อนครับ ลองดูว่าเข้าใจมั้ย

[Anarist]

มาเสริมคุณ noonuii
นิยาม onto สำหรับ $f : X \rightarrow Y$ คือ
แต่ละ $y \in Y$ สามารถหา $x$ ที่ $f(x) = y$ ได้

นิยามทั้งสองนั้น X และ Y เป็นอะไรก็ได้น่ะครับ
X เรียกว่า domain ส่วน Y เรียกว่า codomain

ข้อแรก $X = \mathbb{R} \times \mathbb{R} , Y = \mathbb{R}$
ข้อสอง $X = \mathbb{R} , Y = \mathbb{R}\times \mathbb{R} $

อาจจะสับสนได้เวลาเขียน $x \in X$ กับ $x \in \mathbb{R}$ กับ $(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$

[ผู้โง่เขลา]

ผมพิสูจน์ ontoก่อนนะคับ
Pf let $z\in R choose (x,y)\in R\timesR$ such that x=(z-y)/2 and y=z-2x
and $f(x,y)=2((z-y)/2)+(z-2x)=2z-(2x+y)=2z-2z+2x+y=2x+y $hence f(x,y) is onto
แบบนี้รึป่าวคับ ผมไม่แม่นเลยอ่ะ เห้ออ
ส่วนหนึ่งต่อหนึ่ง ผมก้
pf let(a,b)and (c,d)$\in R\times R$ such that f(a,b)=f(c,d)
2a+b=2c+d
แต่การที่จะให้คู่อันดับเท่ากัน คือ a=c and c=d ซึ่งผมติดแล้วอ่ะครับ
รบกวนด้วยนะครับบบ ผมไม่ออกจริงๆ

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ผู้โง่เขลา

ผมพิสูจน์ ontoก่อนนะคับ
Pf let $z\in R choose (x,y)\in R\timesR$ such that x=(z-y)/2 and y=z-2x
and $f(x,y)=2((z-y)/2)+(z-2x)=2z-(2x+y)=2z-2z+2x+y=2x+y $hence f(x,y) is onto
แบบนี้รึป่าวคับ ผมไม่แม่นเลยอ่ะ เห้ออ
ส่วนหนึ่งต่อหนึ่ง ผมก้
pf let(a,b)and (c,d)$\in R\times R$ such that f(a,b)=f(c,d)
2a+b=2c+d
แต่การที่จะให้คู่อันดับเท่ากัน คือ a=c and c=d ซึ่งผมติดแล้วอ่ะครับ
รบกวนด้วยนะครับบบ ผมไม่ออกจริงๆ

พอให้ $z \in \mathbb{R}$ แล้วเลือก $(0,z) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ไปเลยครับ มันจะสอดคล้อง ทำให้เราได้ onto

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ผู้โง่เขลา

2a+b=2c+d
แต่การที่จะให้คู่อันดับเท่ากัน คือ a=c and b=d ซึ่งผมติดแล้วอ่ะครับ
รบกวนด้วยนะครับบบ ผมไม่ออกจริงๆ

ติดแล้วก็ควรจะเริ่มเอะใจว่ามันจะ 1-1 จริงรึเปล่าครับ

เลือก $a,b,c,d$ ได้มั้ยที่ $a\neq c$ แต่สมการยังเป็นจริง

[ผู้โง่เขลา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

พอให้ $z \in \mathbb{R}$ แล้วเลือก $(0,z) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ไปเลยครับ มันจะสอดคล้อง ทำให้เราได้ onto

อ่ออ เข้าใจแฃ้วครับ ขอบคุณมากครับ

[ผู้โง่เขลา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ติดแล้วก็ควรจะเริ่มเอะใจว่ามันจะ 1-1 จริงรึเปล่าครับ

เลือก $a,b,c,d$ ได้มั้ยที่ $a\neq c$ แต่สมการยังเป็นจริง

อ่า เดวผมจะลองแก้ครับ