|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ช่้วยหน่อยครับ เรื่องลำดับเลขคณิต
ถ้า A,B,C เป็นมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ABC และ sin A,sin B,sin C เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จงพิสูจน์ว่า $ cot\frac{A}{2} ,cot\frac{B}{2} ,cot\frac{C}{2} $ เป็นลำดับเลขคณิตด้วย
ช่วยทีครับผมคิดตั้งนานยังไม่ออกเลย ส่งพรุ่งนี้แล้ว 31 พฤษภาคม 2010 18:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ akungs |
#2
|
||||
|
||||
หา$cot\frac{A}{2} $ในรูปของ$cosA$กับ$sinA$
จะได้ว่า$cot\frac{A}{2} = \frac{1+cosA}{sinA} $....ไปพิสูจน์เองแล้วกันครับ ไม่งั้นยาว จากกฎของ$sin$ จะได้ว่า$sinA=ak$, $sinB=bk$, $sinC=ck$ เมื่อให้$k$เป็นค่าคงที่ จากกฏของ$cosine$จะได้ว่า$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $ $cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} $ $cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} $ โจทย์กำหนดให้$sinA,sinB,sinC$เป็นลำดับเลขคณิต $bk=ak+d$ และ$ck=bk+d$ เมื่อ$d$เป็นค่าคงที่(ผมจำไม่ได้แล้วว่าเขากำหนดว่าชื่ออะไร) $d=(b-a)k=(c-b)k$ ดังนั้น$a-b=b-c$ มาหาค่าของ$cot\frac{A}{2}=\frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2abck} $....จากการแทนค่า$sin$และ$cos$ เช่นเดียวกันจะได้ว่า$cot\frac{B}{2}=\frac{(a+c-b)(a+b+c)}{2abck}$ $cot\frac{C}{2}=\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2abck}$ ให้$\frac{(a+b+c)}{2abck} =M$ ดังนั้นสมมุติว่า$cot\frac{A}{2},cot\frac{B}{2},cot\frac{C}{2}$เป็นลำดับเลขคณิต จะได้ว่า$cot\frac{B}{2}-cot\frac{A}{2}=M(2a-2b) =2M(a-b)$ $cot\frac{C}{2}-cot\frac{B}{2}=M(2b-2c) =2M(b-c)$ จากที่เรารู้ว่า$a-b=b-c$ ดังนั้น$2M(b-c)=2M(a-b)$ ดังนั้น$cot\frac{A}{2},cot\frac{B}{2},cot\frac{C}{2}$ จึงเป็นลำดับเลขคณิต
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
2sin B = sin A + sin C 2sin (pi -(A + C)) = 2sin[(A+C)/2]Cos[(A-C)/2] sin(A + C) = sin[(A+C)/2] cos[(A-C)/2] 2sin [(A+C)/2] cos[(A+C)/2] = sin[(A+C)/2] cos[(A-C)/2] 2cos[(A + C)/2] = cos[(A-C)/2] 2cos(A/2)cos(C/2) - 2sin(A/2)sin(C/2) = cos(A/2)cos(C/2) + sin(A/2)sin (C/2) cos(A/2)cos(C/2) = 3sin(A/2)sin(C/2) cos(A/2)cos(C/2) - sin(A/2)sin(C/2) = 2sin(A/2)sin(C/2) cos(A+C)/2 = 2sin(A/2)sin(C/2) 1/ cos(A+C)/2 = 1/2sin(A/2)sin(C/2) นำ sin(A+C)/2 คูณทั้งสองข้าง $\frac{\sin(A+C)/2}{\cos(A+C)/2} = \frac{\sin(A+C)/2}{2\sin(A/2)\sin(C/2)}$ $\tan[(A+C)/2] = \frac{\sin(A/2)\cos(C/2) + \cos(A/2)\sin(C/2)}{2\sin(A/2)\sin(C/2)}$ $2\tan[(\pi-B)/2] = \cot(C/2) + \cot(A/2)$ $2\cot (B/2) = \cot(C/2) + \cot(A/2)$ $\cot(B/2) - \cot(A/2) = \cot(C/2) - \cot(B/2)$ ดังนั้น $\cot(A/2), \cot(B/2), \cot(C/2)$ เป็นลำดับเลขคณิต. |
#4
|
||||
|
||||
วิธีของคุณgon....สมาร์ทกว่าของผมเยอะเลย....ของผมลากโน่นลากนี่เข้ามาทำ
ขอบคุณครับ..อีกมุมหนึ่งของการแก้โจทย์
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#5
|
||||
|
||||
ถ้าึลองคิด 10 คน บางทีอาจจะได้ 10 วิธีที่ต่างกันครับ.
|
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณสำหรับคำตอบนะครับ ผมทำตั้งนานแก้ข้อนี้ไม่ออกนี่แปลว่าผมพื้นฐานไม่ดีรึเปล่าครับ เพราะนี่เป็นโจทย์มาจากที่โรงเรียนเค้าบอกว่าเป็นข้อสอบโอเน็ต
|
#7
|
||||
|
||||
ลองทำบ่อยๆครับ หาตัวอย่างมาทำ เวลามองโจทย์แล้วจะพอเห็นเองว่าใช้ความรู้อะไรแก้ได้บ้าง
ผมว่าข้อนี้เขาทดสอบความเข้าใจทั้งของเรื่องตรีโกณกับลำดับเลขคณิต น่าจะหนักไปทางตรีโกณมากกว่า สู้ๆๆครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#8
|
||||
|
||||
ปัญหาข้อนี้นั้นผมคิดว่าไม่ใช่โอเน็ตแน่นอนครับ สำหรับระดับความยาก ผมคิดว่ายากกว่าโอเน็ต เอเน็ต หรือพวก GAT-PAT อะไรเทือกนั้นครับ ถ้าทำไม่ได้ไม่ถือเป็นเรื่องแปลก
เรื่องตรีโกณส่วนมากแล้วนักเรียนอย่างน้อย 9 ใน 10 จะไม่ชอบครับ เพราะสูตรเยอะ แต่ิสิ่งสำคัญที่สุดในเรื่องนี้ก็คือ ต้องพิสูจน์สูตรได้ทุกสูตร แล้วก็ท่องสูตรที่สำคัญให้ได้คร่าว ๆ จากนั้นจึงลุยแก้ปัญหา ในตอนแรกจะพบว่าสูตรมันจะนึกไม่ออกหรือไม่แน่ใจ อันนี้คือยังถือว่าจำสูตรไม่ได้ครับ แ่ต่ถ้าไม่ยอมแพ้และทำไปเรื่อย ๆ ท้ายที่สุดจะถึงขั้นที่เรียก พูดถึงสูตรก็ท่องออกมาได้โดยฉับพลันครับ เหมือนเราร้องเพลงชาิติไทย แต่กว่าจะถึงจุดนั้นได้ ก็ต้องเหนื่อยกว่านี้ครับ ที่จริงแล้วเนื้อหาเรื่องตรีโกณมีเยอะมากครับ ถ้าจะให้เรียนกันจริง ๆ เทอมนึงยังถือว่าน้่อยเกินไปด้วยซ้ำ. ผมลองแต่งปัญหาให้ข้อนึง ถ้ามีเวลาก็ลองฝึกทำดูนะครับ จงพิสูจน์ว่า $ \sin 3A = -4\sin A \sin(A+\frac{2\pi}{3})\sin(A+\frac{4\pi}{3})$
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 02 มิถุนายน 2010 22:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: แก้เครื่องหมาย |
|
|