ช่วยทีครับ lim ฟี

[Alchemist]

จงแสดดงว่า $\overline{\displaystyle{\lim _{a \to \infty }}}\frac{a}{\Phi (a)} = +\infty$

[nooonuii]

นิยาม $\Phi(a)$ ให้ดูหน่อยสิครับ

[Alchemist]

$\Phi(a) $ จำนวนของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ a และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ a
ถ้า $a = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}$ แล้ว $\Phi (a) = a(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_n})$
เมื่อ $p_1,p_2,\ldots ,p_n$ คือจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน

[nooonuii]

$\dfrac{a}{\Phi(a)}\to \dfrac{1}{\prod_{p}(1-\frac{1}{p})}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots$

ส่วนที่เป็นสมการลองดูวิธีพิสูจน์ Euler product formula ครับ

Proof of Euler Product Formula

[Alchemist]

ขอบคุณครับ

[Keehlzver]

เพราะว่า $a$ เป็นจำนวนเต็มบวกครับ และจากการที่ลิมิตของมันวิ่งเข้าหาอนันต์เราจะได้ว่า จำนวนนับที่น้อยกว่า $a$ และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทกับ $a$ มีน้อยลงเรื่อยๆ เมื่อเราเลือกให้ค่า $a$ มีขนาดใหญ่มากๆ จึงทำให้ตัวเศษมีค่ามากกว่าตัวส่วนขึ้นเรื่อยๆ ทำให้ลิมิตของมันวิ่งเข้าอนันต์นั่นเองครับ

[one-wing-angel]

แต่ถ้า $a$ เป็นจำนวนเฉพาะ $\Phi(a)$ ก็จะ $=a-1$

$\displaystyle{\lim_{a \to \infty}\frac{a}{\Phi(a)} = 1}$ หนิ

หรือเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ one-wing-angel

แต่ถ้า $a$ เป็นจำนวนเฉพาะ $\Phi(a)$ ก็จะ $=a-1$

$\displaystyle{\lim_{a \to \infty}\frac{a}{\Phi(a)} = 1}$ หนิ

หรือเปล่าครับ

จะพิสูจน์ว่าลิมิตลู่เข้าสู่ค่าใดค่าหนึ่งเราเลือกแค่กรณีเฉพาะมาคิดไม่ได้ครับ

คำว่า $a\to\infty$ ยังมีกรณีอื่นที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะที่ต้องพิจารณาอีกเยอะแยะครับ

และในที่นี้เราก็ไม่ได้พิสูจน์ลิมิตโดยตรงเพราะว่าแท้จริงแล้วลิมิตหาค่าไม่ได้

จากที่ยกตัวอย่างมาลิมิตสามารถลู่เข้าหา $1$ ได้ในกรณีของจำนวนเฉพาะ

ที่เราพิสูจน์จริงๆคือ $\overline{\lim}$ ครับ

[one-wing-angel]

คือผมจะบอกว่า limit มันแกว่งอะครับ

ว่าแต่ $\overline{lim}$ มันต่างจาก $lim$ ธรรมดายังไงหรือครับ ผมไม่เคยเห็น

[nooonuii]

$\overline{\lim}$ อ่านว่า limit supremum ครับ

เป็นค่าของลิมิตที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของลำดับย่อยของลำดับที่เราสนใจครับ

ในกรณีนี้ถ้าเราเลือกลำดับย่อย

$a_n=p_n$ ก็จะได้

$\dfrac{a_n}{\Phi(a_n)}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p_n}}\to 1$

แต่ถ้าเลือก $a_n=p_1p_2\cdots p_n$ เมื่อ $p_i$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ $i$

ก็จะเห็นว่า

$\dfrac{a_n}{\Phi(a_n)}=\dfrac{1}{(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})\cdots(1-\dfrac{1}{p_n})}\to\infty$

จึงได้ว่า $\overline{\displaystyle{\lim _{a \to \infty }}}\dfrac{a}{\Phi (a)} = \infty$

ตัวลำดับหาลิมิตไม่ได้ถูกแล้วครับ แต่ $\overline{\lim}$ หาได้เสมอถึงแม้ว่าในกรณีนี้มันจะลู่ออกไปหา $\infty$ ก็ตาม

นอกจากนี้ยังมีนิยามของ $\underline{\lim}$ ซึ่งนิยามในทางตรงข้ามกัน

ตัวอย่างลำดับที่น่าจะอธิบายแนวคิดของ $\overline{\lim}$ และ $\underline{\lim}$ ได้ดีก็คือ

ลำดับ $\{(-1)^n\}$ เป็นที่รู้กันว่าลำดับนี้ไม่มีลิมิต

แต่เราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า

$\overline{\lim}\, a_n=1$

$\underline{\lim}\, a_n=-1$

[one-wing-angel]

ขอบคุณสำหรับคำอธิบายครับ
เข้าใจแล้วครับ