เรื่องจำนวนจริงช่วยทีคับ

[Madagasgaman]

ข้อ1
$x^{100}-x^{99}+2 หารด้วย x^2 +x -2 เหลือเศษเท่าใด$
ข้อ2
ให้ a,m,n,k$\in I^+$ และสอดคล้องเงื่นไงต่อไปนี้
1) หรม .ของ m และ n ไม่เท่ากับ 1
2) $m^2-n^2 = 2541$
3)$\frac{m^2-n-a}{n^2-m+a}= k $

จงหา k ทั้งหมดที่เป็นไปได้

ข้อ3
ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง 0<a<b<c<d สัญลักณ์ [m,n] หมายถึง ครน ที่เป็นบวกของ m และ n ค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}$ เท่ากับเท่าใด

ข้อ4
คู่อันดับ (m,n) ของจำนวนเต้มบวกทั้งหมด ซึ่ง $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{15}$ มีจำนวนเท่ากับเท่าใด

ข้อ5 กำหนดให้ x และ y เป้นจำนวนเต็มบวก สมการ xy -2547x -2004y =0 มีกี่คำตอบ

ข้อ6.
กำหนดให้ $m_{k} = 777..........7 (จำนวน k ตัว ) ถ้า หาร m_{25} ด้วย m_5 $ ได้ผลหารเป็น p เมื่อ p เป็นจำนวนนับ จงหาว่าจำนวนนับ p มีเลขโดด 0 ทั้งหมดกี่ตัว

ข้อ 7

กำหนดให้ g(x) = $\frac{x-5}{x-3}$ นิยาม $g^n(x) = (gogogo...og)(x)$ ( จำนวน n ตัว)

จงหาค่าของ $g^{2008}(2008)$

ข้อ 8

จงหาค่า a,b ที่เป็นจำนวนเต็มคู่หนึ่งที่สอดคล้องกับสมการ 1 = 17a +27b

[banker]

ข้อ4
คู่อันดับ (m,n) ของจำนวนเต้มบวกทั้งหมด ซึ่ง $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{15}$ มีจำนวนเท่ากับเท่าใด

$\dfrac{1}{15} \times \dfrac{4}{4} = \dfrac{4}{60} = \dfrac{1}{60} + \dfrac{3}{60} = \dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{20}$

$\dfrac{1}{15} \times \dfrac{6}{6} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{90} + \dfrac{5}{90} = \dfrac{1}{90} + \dfrac{1}{18}$

คู่อันดับ (m,n) = {20,60}, {18,90}

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$\dfrac{1}{15} \times \dfrac{4}{4} = \dfrac{4}{60} = \dfrac{1}{60} + \dfrac{3}{60} = \dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{20}$

$\dfrac{1}{15} \times \dfrac{6}{6} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{90} + \dfrac{5}{90} = \dfrac{1}{90} + \dfrac{1}{18}$

คู่อันดับ (m,n) = {20,60}, {18,90}

ยังมีอีกครับ ^^

$\frac{1}{15}=\frac{1}{30}+\frac{1}{30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{60}=\frac{1}{18}+\frac{1}{90}=\frac{1}{40}+\frac{1}{24}$

ครับ

[banker]

ข้อ6.
กำหนดให้ $m_{k} = 777..........7 (จำนวน k ตัว ) ถ้า หาร m_{25} ด้วย m_5 $ ได้ผลหารเป็น p เมื่อ p เป็นจำนวนนับ
จงหาว่าจำนวนนับ p มีเลขโดด 0 ทั้งหมดกี่ตัว

$ m_{k} =$ \(\overbrace{777..........7}^{k ตัว}\)

จะได้
$ m_{25} =$ \(\overbrace{777..........7}^{25 ตัว}\)

และ
$ m_{5} =$ \(\overbrace{777..........7}^{5 ตัว}\) $= 77777$


จะได้

p = \(\overbrace{777..........7}^{25 ตัว}\) หารด้วย $77777 = \frac{(77777 \times 10^{20}) + (77777 \times 10^{15}) + (77777 \times 10^{10} ) + (77777 \times 10^5 ) + (77777)}{77777}$

$ = (1 \times 10^{20}) + (1\times 10^{15}) + (1\times 10^{10} ) + (1\times 10^5 ) + (1)$

= (1 กับ ศูนย์ 20 ตัว) + (1 กับ ศูนย์ 15 ตัว) + (1 กับ ศูนย์ 10 ตัว) + (1 กับ ศูนย์ 5 ตัว) +(1)

= (ศูนย์ 20 ตัว) + (1 แทนที่ศูนย์ 1 ตัว) + (1 แทนที่ศูนย์ 1 ตัว) + (1 แทนที่ศูนย์ 1 ตัว) +(1 แทนที่ศูนย์ 1 ตัว)

ดังนั้น p มีเลขโดดเป็น 0 อยู่ 20 - 4 = 16 ตัว

[Madagasgaman]

สำหรับข้อ 4

ที่ดูในเฉลยมันตอบ 9 คู่ คับ แต่วิธีคิดไม่รู้คับ

ส่วนข้อ 6 ตอบ 16ตรงคับ ขอบคุณมากคับ สำหรับวิธีคิด !

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Madagasgaman

ข้อ4
คู่อันดับ (m,n) ของจำนวนเต้มบวกทั้งหมด ซึ่ง $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{15}$ มีจำนวนเท่ากับเท่าใด

จัดรูปครับ $\frac{n+m}{mn}=\frac{1}{15}$ จึงได้ $mn-15m-15n=0$
$mn-15m-15n+15\times 15=15\times 15\,\Rightarrow\,(m-15)(n-15)=3^2\times5^2$
ถ้าไม่มีเงื่อนไขว่า m,n>0 เราก็จะได้ว่าแต่ละวงเล็บเป็นตัวประกอบของ $15^2$ ซึ่งมีอยู่ 18 ตัว (ใช้สูตรหามา เอาทั้งบวกและลบ)
แต่เรามีเงื่อนไขนั้น เราจะเห็นว่าสองวงเล็บนั้นจะเป็นลบไม่ได้เลย เพราะจะมีวงเล็บนึงมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า 15 ซึ่งจะทำให้ m หรือ n $\le0$
ดังนั้นทั้งสองวงเล็บต้องเป็นบวก คำตอบจึงเป็นจำนวนของตัวประกอบบวกของ $3^2\times5^2$ =(2+1)x(2+1)=9 ครับ

[HIGG BOZON]

ข้อ 5 $xy-(2,547)x-(2,004)y+(2,547)\times (2,004) = (2,547)\times (2,004)$
จะได้ว่า $(x-2,004)(y-2,547) = 3^3\times 2^2\times 167\times 283$
เนื่องจาก $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ก็ไม่มีปัญหาในการจับคู่ขวากับซ้ายของสมการแล้วครับ (ลองแทนต่อเองนะครับ)

ข้อ 7 $g(x)=\frac{x-5}{x-3}$ ดังนั้น $g^2(x) = \frac{\frac{\displaystyle{x-5}}{\displaystyle{x-3}}-5}{\frac{\displaystyle{x-5}}{\displaystyle{x-3}}-3} = \frac{2x-5}{x-2}$ ในทำนองเดียวกันจะได้ $g^3(x) = \frac{3x-5}{x-1}$ และ $g^4(x) = x$ จะเห็นว่าเกิดการวนซ้ำ ดังนั้น $g^5(x) = g(x) , g^6(x) = g^2(x) $ $ g^7(x) = g^3(x) , g^8(x) = x , g^9(x) = g(x) , .......$
ดังนั้น $g^{2,008}(x) = x$ เพราะฉะนั้น $g^{2,008}(2,008) = 2,008$

ข้อ 8 โดย Euclidean Algorithm
$27 = (1)(17)+10$
$17 = (1)(10)+7$
$10 = (1)(7)+3$
$7 = (2)(3)+1$
$3 = (1)(3)+0$
g.c.d. ของ $17$ กับ $27$ คือ $1$ โดยทฤษฎีบทจะสามารถเขียน $1$ ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ $17$ กับ $27$ ได้ นั่นคือ $1 = 17a+27b$ ซึ่งจะมี $a,b$ หลายชุด...แต่โจทย์ให้หาเพียงคู่เดียว...จึงทำย้อนกลับจาก Euclidean Algorithm จะได้
$1 = 7-(2)(3) = 7-(2)(10-7) = (17-10)-(2)(10)+(2)(17-10) = 17-(3)(10)+(2)(17)-(2)(10)$ $ = 17-(3)(27-17)+(2)(17)-(2)(27-17) =$ $ 17-(3)(27)+(3)(17)+(2)(17)-(2)(27)+(2)(17)$ $= (8)(17)-(5)(27)$
ดังนั้นจะได้ว่า $a = 8 , b = -5$