|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยด้วยครับ จำนวนเชิงซ้อนครับ
กำหนดให้ $\omega$ เป็นรากเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ $1$ ของสมการ $\omega ^{23}=1$
จงหาค่าของ $\sum_{n = 0}^{22} \frac{1}{\omega ^{2n}+\omega ^n+1} $ ขอบคุณล่วงหน้าครับ
__________________
SKN #33 POSN 2012-2013 IPST 1/2014 TMO 10th Bronze & TMO 11th Silver medal 11 มิถุนายน 2014 22:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Poogunexe เหตุผล: เขียนผิด |
#2
|
||||
|
||||
ลองจับคู่หัวท้ายดูครับ
|
#3
|
||||
|
||||
จากโจทย์กำหนดให้ $w^{23}=1$ เมื่อ $w\not= 1$
จึงได้ว่า $w=\cos{\frac{2k\pi}{23}}+i\sin{\frac{2k\pi}{23}}$ เมื่อ $k=1,2,...,22$ และ $1+w+w^2+...+w^{22}=0$ พิจารณา $\left\{w,w^2,...,w^{22}\right\}=\left\{w^t,w^{2t},...,w^{22t}\right\}$ เมื่อ $t$ เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย $23$ ไม่ลงตัว จะได้ว่า $$\sum_{n = 0}^{22}\frac{1}{w^{2n}+w^n+1}=\frac{1}{3}+\sum_{n = 1}^{22}\frac{1}{w^{2n}+w^n+1} =\frac{1}{3}+\sum_{n = 1}^{22}\frac{1}{w^{2nt}+w^{nt}+1}----(1)$$ ให้ $t=8$ พิจารณาค่าของ $\displaystyle{\frac{1}{w^{2nt}+w^{nt}+1}}$ $\displaystyle{\frac{1}{w^{2nt}+w^{nt}+1}=\frac{1}{w^{16n}+w^{8n}+1}=\frac{w^{8n}-1}{w^{24n}-1}}$ ซึ่งจาก $w^{23}=1$ จะได้ว่า $w^{24n}=w^n$ ดังนั้น$\displaystyle{\frac{1}{w^{2nt}+w^{nt}+1}=\frac{w^{8n}-1}{w^n-1}}=w^{7n}+w^{6n}+...+w^n+1$ แทนในสมการ $(1)$ จะได้ว่า $\displaystyle{\sum_{n = 0}^{22}\frac{1}{w^{2n}+w^n+1}=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{22}(w^{7n}+w^{6n}+...+w^n+1)}$ $\displaystyle{=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{22}w^{7n}+\sum_{n=1}^{22}w^{6n}+\sum_{n=1}^{22}w^{5n}+\sum_{n=1}^{22}w^{4n}+\sum_{n=1}^{ 22}w^{3n}+\sum_{n=1}^{22}w^{2n}+\sum_{n=1}^{22}w^{n}+\sum_{n=1}^{22}1}$ $\displaystyle{=\frac{1}{3}+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+22}$ $$\therefore\sum_{n = 0}^{22}\frac{1}{w^{2n}+w^n+1}=\frac{46}{3} $$ ปล. ที่มาโจทย์ข้อนี้มาจาก USA Harvard-MIT Mathematics Tournament 2013 นะครับ |
#4
|
|||
|
|||
สนับสนุนให้บอกที่มาของโจทย์ถ้าทำได้ เพื่อประโยชน์ในการสืบค้นและให้เกียรติเจ้าของโจทย์ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|